Для функции f(х) найти первообразную, график которой проходит через точку М (18-21). 2 18.4 f(x) = 4, M (2;-1). 19. 5 f(x) = cos x + sinx, Μ (π; −2). 2 20.5 f(x) = -, M (1; M (1; -3). 1 √x x 21.5 f(x) = e + 1, M (0; -2). 2

Давай разберем по порядку каждое задание и найдем первообразные функций, проходящие через указанные точки. 18. f(x) = 2/x⁴, M(2; -1) \[ f(x) = \frac{2}{x^4} = 2x^{-4} \] Сначала найдем первообразную функции f(x): \[ F(x) = \int 2x^{-4} dx = 2 \int x^{-4} dx = 2 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{2}{3x^3} + C \] Теперь найдем значение C, используя точку M(2; -1): \[ -1 = -\frac{2}{3 \cdot 2^3} + C \] \[ -1 = -\frac{2}{3 \cdot 8} + C \] \[ -1 = -\frac{1}{12} + C \] \[ C = -1 + \frac{1}{12} = -\frac{11}{12} \] Таким образом, первообразная равна: \[ F(x) = -\frac{2}{3x^3} - \frac{11}{12} \] 19. f(x) = cos x + sin x, M(π; -2) Сначала найдем первообразную функции f(x): \[ F(x) = \int (\cos x + \sin x) dx = \sin x - \cos x + C \] Теперь найдем значение C, используя точку M(π; -2): \[ -2 = \sin(\pi) - \cos(\pi) + C \] \[ -2 = 0 - (-1) + C \] \[ -2 = 1 + C \] \[ C = -2 - 1 = -3 \] Таким образом, первообразная равна: \[ F(x) = \sin x - \cos x - 3 \] 20. f(x) = 1/√x - 2/x, M(1; -3) Сначала найдем первообразную функции f(x): \[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{x} = x^{-\frac{1}{2}} - \frac{2}{x} \] \[ F(x) = \int (x^{-\frac{1}{2}} - \frac{2}{x}) dx = \int x^{-\frac{1}{2}} dx - 2 \int \frac{1}{x} dx = 2x^{\frac{1}{2}} - 2\ln|x| + C \] \[ F(x) = 2\sqrt{x} - 2\ln|x| + C \] Теперь найдем значение C, используя точку M(1; -3): \[ -3 = 2\sqrt{1} - 2\ln|1| + C \] \[ -3 = 2 \cdot 1 - 2 \cdot 0 + C \] \[ -3 = 2 + C \] \[ C = -3 - 2 = -5 \] Таким образом, первообразная равна: \[ F(x) = 2\sqrt{x} - 2\ln|x| - 5 \] 21. f(x) = e^(x/2) + 1/(x+2), M(0; -2) Сначала найдем первообразную функции f(x): \[ F(x) = \int (e^{\frac{x}{2}} + \frac{1}{x+2}) dx = \int e^{\frac{x}{2}} dx + \int \frac{1}{x+2} dx = 2e^{\frac{x}{2}} + \ln|x+2| + C \] Теперь найдем значение C, используя точку M(0; -2): \[ -2 = 2e^{\frac{0}{2}} + \ln|0+2| + C \] \[ -2 = 2e^0 + \ln 2 + C \] \[ -2 = 2 \cdot 1 + \ln 2 + C \] \[ -2 = 2 + \ln 2 + C \] \[ C = -2 - 2 - \ln 2 = -4 - \ln 2 \] Таким образом, первообразная равна: \[ F(x) = 2e^{\frac{x}{2}} + \ln|x+2| - 4 - \ln 2 \]

Ответ: Решения выше.

Ты проделал отличную работу, продолжай в том же духе! У тебя все получится!