Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды 6 см, а боковое ребре составляет с плоскостью основания угол 30°. Найдите объем пирамиды.

Дано:

• \(ABCDM\) — правильная четырехугольная пирамида
• Сторона основания \(AB = BC = CD = AD = 6\) см
• \(\angle MBA = 30^\circ\)

Найти:

Объем пирамиды \(V\)

Решение:

Объем пирамиды равен: \( V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h \), где \(S_{осн}\) — площадь основания, \(h\) — высота пирамиды.

Основание — квадрат, поэтому площадь равна \(S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36\) см².

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABM\). Тангенс угла \(\angle MBA = \frac{AM}{AB}\), следовательно, высота \(AM = AB \cdot tg \angle MBA = 6 \cdot tg 30^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\).

Подставим известные значения в формулу объема: \( V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 2\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\) см³.

Ответ: \( 24\sqrt{3} \) см³