Дифференциальными уравнениями Бернулли являются уравнения

Решение:

Дифференциальные уравнения Бернулли — это нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка вида:

\[ y' + P(x)y = Q(x)y^n \]

Где \( n \) — любое действительное число, не равное 0 или 1.

Рассмотрим предложенные варианты:

• Первый вариант: \( \frac{dx}{dt} = 2 + \frac{x^2}{t^2} - \cos{\frac{t}{x}} \) — это нелинейное уравнение, но оно не соответствует виду уравнения Бернулли.
• Второй вариант: \( x \sin(x+1)dt + t \sin(t+1)dx = 0 \) — это уравнение вида \( M(x,t)dx + N(x,t)dt = 0 \). Не является уравнением Бернулли.
• Третий вариант: \( \frac{dx}{dt} + \frac{x}{t} = x^2 \frac{\ln t}{t} \) — это уравнение вида \( y' + P(x)y = Q(x)y^n \), где \( y=x \), \( P(t)=\frac{1}{t} \), \( Q(t)=\frac{\ln t}{t} \) и \( n=2 \). Это уравнение Бернулли.
• Четвертый вариант: \( \frac{dx}{dt} - \frac{4}{t}x = -t^3 \sqrt{x} = 0 \) — это уравнение вида \( y' + P(x)y = Q(x)y^n \), где \( y=x \), \( P(t)=-\frac{4}{t} \), \( Q(t)=-t^3 \) и \( n=\frac{1}{2} \). Это уравнение Бернулли.

Ответ: Выберите третий или четвертый вариант.