Диаметры AB и CD окружности пересекаются в точке O. Найдите величину угла ADO, если ∠BOD = 150°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение:

Так как AB и CD — диаметры, они проходят через центр окружности O. Это означает, что углы ∠BOD и ∠AOC являются вертикальными, а значит, равны. Углы ∠BOD и ∠AOC — центральные, поэтому величина дуги, на которую они опираются, равна величине самого угла.

\( \angle BOD = 150^{\circ} \).

Угол ∠AOD — развёрнутый, так как является смежным с углом ∠BOD. Сумма смежных углов равна \( 180^{\circ} \).

\[ \angle AOD + \angle BOD = 180^{\circ} \]

\[ \angle AOD = 180^{\circ} - \angle BOD = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ} \]

Теперь рассмотрим треугольник \( \triangle AOD \). OA и OD — радиусы окружности, поэтому \( OA = OD \). Это означает, что \( \triangle AOD \) — равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Углы при основании — это ∠OAD и ∠ODA (или ∠ADO).

\[ \angle OAD = \angle ADO \]

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \).

\[ \angle AOD + \angle OAD + \angle ADO = 180^{\circ} \]

\[ 30^{\circ} + \angle ADO + \angle ADO = 180^{\circ} \]

\[ 2 \cdot \angle ADO = 180^{\circ} - 30^{\circ} \]

\[ 2 \cdot \angle ADO = 150^{\circ} \]

\[ \angle ADO = \frac{150^{\circ}}{2} = 75^{\circ} \]

Ответ: 75°.