Диаметр основания цилиндра равен 13 см, а площадь осевого сечения — 104 см². В цилиндр вписана четырёхугольная призма. Основанием призмы является прямоугольник, одна сторона которого больше другой на 7 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Привет! Давай разберем эту задачку вместе.

Дано:

• Диаметр цилиндра d = 13 см
• Площадь осевого сечения S_ос.сеч = 104 см²
• Призма вписана в цилиндр.
• Основание призмы — прямоугольник.
• Одна сторона прямоугольника больше другой на 7 см.

Найти: Площадь полной поверхности призмы S_полн.

Решение:

1. Находим радиус цилиндра:
   Радиус r = d / 2 = 13 см / 2 = 6.5 см.
2. Находим высоту цилиндра (она же высота призмы):
   Площадь осевого сечения цилиндра — это площадь прямоугольника, одна сторона которого равна диаметру основания (d), а другая — высоте цилиндра (h).
   \[ S_{\text{ос.сеч}} = d \times h \]
   \[ 104 \text{ см}^2 = 13 \text{ см} \times h \]
   \[ h = \frac{104 \text{ см}^2}{13 \text{ см}} = 8 \text{ см} \]
3. Находим стороны прямоугольника в основании призмы:
   Пусть одна сторона прямоугольника будет a см, тогда другая будет (a + 7) см.
   Так как призма вписана в цилиндр, диагональ прямоугольника равна диаметру цилиндра. Используем теорему Пифагора для прямоугольника:
   \[ a^2 + (a+7)^2 = d^2 \]
   \[ a^2 + (a^2 + 14a + 49) = 13^2 \]
   \[ 2a^2 + 14a + 49 = 169 \]
   \[ 2a^2 + 14a + 49 - 169 = 0 \]
   \[ 2a^2 + 14a - 120 = 0 \]
   Разделим всё на 2:
   \[ a^2 + 7a - 60 = 0 \]
   Решаем квадратное уравнение (через дискриминант или по теореме Виета). Найдем корни:
   a₁ = 5
   a₂ = -12 (нам не подходит, так как сторона не может быть отрицательной).
   Итак, стороны прямоугольника равны: a = 5 см и b = 5 + 7 = 12 см.
4. Находим площадь основания призмы:
   \[ S_{\text{осн}} = a \times b = 5 \text{ см} \times 12 \text{ см} = 60 \text{ см}^2 \]
5. Находим площадь боковой поверхности призмы:
   Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту.
   Периметр основания P = 2 * (a + b) = 2 * (5 см + 12 см) = 2 * 17 см = 34 см.
   \[ S_{\text{бок}} = P \times h = 34 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 272 \text{ см}^2 \]
6. Находим площадь полной поверхности призмы:
   Площадь полной поверхности равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности.
   \[ S_{\text{полн}} = 2 \times S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} \]
   \[ S_{\text{полн}} = 2 \times 60 \text{ см}^2 + 272 \text{ см}^2 \]
   \[ S_{\text{полн}} = 120 \text{ см}^2 + 272 \text{ см}^2 = 392 \text{ см}^2 \]

Ответ: 392 см²