Диагонали выпуклого четырёхугольника KLMN пересекаются в точке О. Найдите MN, если OK = 12, OL = 8, KL = 6, OM = 60, ON = 40.

Для решения задачи нам понадобится второй признак подобия четырехугольников. Он гласит, что если диагонали одного четырехугольника пропорциональны диагоналям другого четырехугольника, а углы между соответствующими диагоналями равны, то такие четырехугольники подобны.

В нашем случае, у нас есть четырехугольник KLMN, диагонали которого пересекаются в точке O. Мы знаем длины отрезков OK, OL, OM, ON и KL. Нам нужно найти MN.

Так как диагонали пересекаются в точке O, то углы между диагоналями равны. То есть, ∠KOL = ∠MON и ∠LOM = ∠KON.

Теперь проверим, пропорциональны ли отрезки диагоналей:

$$ \frac{OK}{OM} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5} $$

$$ \frac{OL}{ON} = \frac{8}{40} = \frac{1}{5} $$

Так как отношения равны, то отрезки диагоналей пропорциональны. Следовательно, треугольники KOL и MON подобны по двум сторонам и углу между ними.

Из подобия треугольников KOL и MON следует, что:

$$ \frac{KL}{MN} = \frac{OK}{OM} = \frac{OL}{ON} = \frac{1}{5} $$

Таким образом, у нас есть:

$$ \frac{KL}{MN} = \frac{1}{5} $$

Мы знаем, что KL = 6, поэтому:

$$ \frac{6}{MN} = \frac{1}{5} $$

Решаем уравнение для MN:

$$ MN = 6 \cdot 5 = 30 $$

Ответ: 30