Диагонали равнобокой трапеции ABCD(AD > ВС) перпендикулярны, боковая сторона равна 6 см, а периметр равен 22 см. Найди косинус угла А.

Решение:

• Пусть основания трапеции будут a (AD) и b (BC).
• Периметр трапеции: \( P = a + b + 2c \), где \( c \) — боковая сторона.
• Из условия: \( 22 = a + b + 2 \cdot 6 \), следовательно, \( a + b = 10 \).
• Т.к. диагонали перпендикулярны, высота трапеции равна полусумме оснований: \( h = \frac{a+b}{2} = \frac{10}{2} = 5 \).
• В равнобокой трапеции высота, опущенная из вершины B на основание AD, делит основание AD на два отрезка: \( x = \frac{a-b}{2} \) и \( a-x \).
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком x.
• По теореме Пифагора: \( c^2 = h^2 + x^2 \), \( 6^2 = 5^2 + x^2 \), откуда \( x^2 = 36 - 25 = 11 \), \( x = \sqrt{11} \).
• Косинус угла A: \( cos(A) = \frac{x}{c} = \frac{\sqrt{11}}{6} \).

Ответ: \(\frac{\sqrt{11}}{6}\)