912 - Диагонали параллелограмма ABCD пере- секаются в точке о, м середина отрез- ка АО. Найдите, если это возможно, та- кое число к, чтобы выполнялось равенство: a) AC=kAO; г) АВ=kDC; б) BO=kBD; в) ОC=kCA; д) BC=kDA; e) AM=kCA; ж) МС = КАМ; 3) AC=kCM; и) АO=kBD.

Решение

Давай разберем по порядку каждое равенство и определим, при каком значении k оно выполняется.

1. a) \(\vec{AC} = k \vec{AO}\)

   Так как точка O - точка пересечения диагоналей параллелограмма, то AO - половина AC. Значит, \(\vec{AC} = 2 \vec{AO}\), следовательно, \(k = 2\).

2. б) \(\vec{BO} = k \vec{BD}\)

   Точка O - точка пересечения диагоналей параллелограмма, поэтому BO - половина BD. \(\vec{BO} = \frac{1}{2} \vec{BD}\), значит, \(k = \frac{1}{2}\).

3. в) \(\vec{OC} = k \vec{CA}\)

   OC и CA - противоположно направленные векторы, и OC - половина AC. \(\vec{OC} = -\frac{1}{2} \vec{AC} = -\frac{1}{2} \vec{CA}\), значит, \(k = -\frac{1}{2}\).

4. г) \(\vec{AB} = k \vec{DC}\)

   В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, значит, \(\vec{AB} = \vec{DC}\), следовательно, \(k = 1\).

5. д) \(\vec{BC} = k \vec{DA}\)

   В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, но векторы BC и DA противоположно направлены. \(\vec{BC} = - \vec{DA}\), значит, \(k = -1\).

6. e) \(\vec{AM} = k \vec{CA}\)

   По условию, M - середина AO, значит, AM = \(\frac{1}{4}\) AC. Векторы AM и CA противоположно направлены, значит, \(\vec{AM} = -\frac{1}{4} \vec{AC} = -\frac{1}{4} \vec{CA}\), следовательно, \(k = -\frac{1}{4}\).

7. ж) \(\vec{MC} = k \vec{AM}\)

   AM = \(\frac{1}{4}\) AC, значит, MC = \(\frac{3}{4}\) AC. Векторы MC и AM противоположно направлены. \(\vec{MC} = -3 \vec{AM}\), следовательно, \(k = -3\).

8. з) \(\vec{AC} = k \vec{CM}\)

   MC = \(\frac{3}{4}\) AC, значит, AC = \(\frac{4}{3}\) MC. Векторы AC и CM противоположно направлены. \(\vec{AC} = -\frac{4}{3} \vec{CM}\), следовательно, \(k = -\frac{4}{3}\).

9. и) \(\vec{AO} = k \vec{BD}\)

   Векторы AO и BD не коллинеарны (не лежат на одной прямой или параллельных прямых), поэтому равенство невозможно, и такого k не существует.

Ответ: a) k = 2; б) k = \(\frac{1}{2}\); в) k = -\(\frac{1}{2}\); г) k = 1; д) k = -1; e) k = -\(\frac{1}{4}\); ж) k = -3; з) k = -\(\frac{4}{3}\); и) такого k не существует.

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!