1. Диагонали АС и BD трапеции АВCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О. ВC = 2. AD = 5. АС = 28. Найдите АО.

Рассмотрим трапецию ABCD, диагонали AC и BD пересекаются в точке О. BC = 2, AD = 5, AC = 28. Требуется найти AO.

Треугольники BOC и DOA подобны по двум углам (∠BOC = ∠DOA как вертикальные, ∠BCO = ∠DAO как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей AC).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$\frac{BO}{OD} = \frac{CO}{OA} = \frac{BC}{AD}$$.

Известно, что BC = 2 и AD = 5, следовательно, отношение $$ \frac{CO}{OA} = \frac{2}{5}$$.

Пусть CO = 2x, тогда OA = 5x. AC = CO + OA = 2x + 5x = 7x.

По условию AC = 28, следовательно, 7x = 28, откуда x = 4.

AO = 5x = 5 * 4 = 20.

Ответ: 20