Диагонали АС и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M, MA: MC = MD: МВ. Докажите, что четырёхугольник ABCD – параллелограмм или трапеция.

Доказательство.

1. В треугольниках MAD и MCB ∠AMD = ∠CMB (как вертикальные), МА : МB = MD : МC (по условию).
2. Следовательно, ΔMAD ~ ΔMCB (по признаку подобия треугольников), а стороны МА и МВ являются сходственными сторонам и МВ.
3. Из подобия треугольников следует, что ∠MAD = ∠MCB, т. е. равны накрест лежащие углы при пересечении прямых AD и BC секущей АС, значит, AD || BC.
4. Из подобия треугольников следует, что AD : BC = MA : MC.
5. Если AD : BC ≠ 1, то AD ≠ BC, при этом AD || BC, значит, ABCD – трапеция.
6. Если AD : BC = 1, то AD = BC, но AD || BC, следовательно, АBCD – параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что ABCD – параллелограмм или трапеция.