487. Диагональ равнобедренной трапеции равна a. Найдите периметр четырёхугольника, вершины которого являются серединами сторон равнобедренной трапеции.

Пусть ABCD - данная равнобедренная трапеция, где AB = CD, и AC = BD = a. Пусть M, N, P, Q - середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Четырёхугольник MNPQ - ромб (или прямоугольник, если трапеция является прямоугольником).

MN - средняя линия треугольника ABC, следовательно, MN = \(\frac{1}{2}\)AC = \(\frac{a}{2}\). Аналогично, PQ - средняя линия треугольника ADC, следовательно, PQ = \(\frac{1}{2}\)AC = \(\frac{a}{2}\). Также, MQ - средняя линия треугольника ABD, следовательно, MQ = \(\frac{1}{2}\)BD = \(\frac{a}{2}\). И NP - средняя линия треугольника BCD, следовательно, NP = \(\frac{1}{2}\)BD = \(\frac{a}{2}\).

Таким образом, все стороны четырёхугольника MNPQ равны \(\frac{a}{2}\). Следовательно, периметр четырёхугольника MNPQ равен 4 * (\(\frac{a}{2}\) = 2a.

Ответ: 2a