Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 16 и наклонена под углом 45 к плоскости основания. Найдите площадь основания.

Решение:

Пусть дана правильная четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁ с диагональю AC₁ = 16, образующей угол 45° с плоскостью основания.

Обозначим сторону основания призмы как а, а высоту призмы как h. Так как призма правильная, то в основании лежит квадрат.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACC₁:

• ∠CAC₁ = 45° (по условию)
• AC₁ = 16 (по условию)

Поскольку ∠CAC₁ = 45°, то треугольник ACC₁ является равнобедренным, следовательно, AC = CC₁ = h.

По теореме Пифагора для треугольника ACC₁:

\[AC^2 + CC_1^2 = AC_1^2\] \[h^2 + h^2 = 16^2\] \[2h^2 = 256\] \[h^2 = 128\] \[h = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}\]

Следовательно, AC = 8\sqrt{2}.

2. Рассмотрим квадрат ABCD в основании призмы:

• AC = 8\sqrt{2} (диагональ квадрата)

Диагональ квадрата связана со стороной квадрата соотношением: AC = a\sqrt{2}, где a - сторона квадрата.

Тогда:

\[a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\] \[a = 8\]

3. Найдем площадь основания призмы. Так как в основании квадрат, то площадь основания равна:

\[S = a^2 = 8^2 = 64\]

Ответ: 64

Проверка за 10 секунд: Площадь основания равна квадрату стороны основания. Найдя сторону основания, возводим её в квадрат и получаем площадь.

Читерский прием: Если диагональ призмы образует угол 45° с основанием, то высота призмы равна диагонали основания. Это упрощает вычисления.