466. Диагональ параллелограмма равна его стороне. Найдите площадь параллелограмма, если большая его сторона равна 15,2 см, а один из его углов 45°.

Пусть $$a$$ - сторона параллелограмма, равная диагонали, и пусть $$b$$ - большая сторона, равная 15,2 см. Обозначим угол между сторонами $$a$$ и $$b$$ как $$\alpha = 45^\circ$$. Площадь параллелограмма можно найти по формуле: $$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$$. Т.к. диагональ равна стороне $$a$$, то параллелограмм состоит из двух равных треугольников, где две стороны равны $$b$$ и $$a$$, а угол между ними $$\alpha = 45^\circ$$. Тогда можем применить теорему косинусов к диагонали (которая равна $$a$$). $$a^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\alpha)$$ $$0 = b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\alpha)$$ $$2ab \cos(\alpha) = b^2$$ $$a = \frac{b}{2 \cos(\alpha)} = \frac{15.2}{2 \cos(45^\circ)} = \frac{15.2}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{15.2}{\sqrt{2}} = \frac{15.2 \sqrt{2}}{2} = 7.6 \sqrt{2}$$ см Теперь найдем площадь: $$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) = 7.6 \sqrt{2} \cdot 15.2 \cdot \sin(45^\circ) = 7.6 \sqrt{2} \cdot 15.2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 7.6 \cdot 15.2 = 115.52$$ см$$^2$$ Ответ: Площадь параллелограмма равна 115,52 см$$^2$$.