Диагональ OD прямоугольного параллелепипеда образует с рёбрами ОА и ОВ углы величиной 60°. Какой угол она образует с ребром ОС?

Ответ: 45°

Пошаговое решение:

• Обозначим угол между диагональю OD и ребром OC как γ.
• Используем формулу для диагонали прямоугольного параллелепипеда: \[OD^2 = OA^2 + OB^2 + OC^2\]
• Пусть OA = OB = a, так как углы между диагональю и этими ребрами равны 60°.
• Тогда косинус угла между диагональю и OA (или OB) равен: \[\cos 60^\circ = \frac{OA}{OD} = \frac{OB}{OD} = \frac{1}{2}\] Следовательно, OD = 2a.
• Подставим известные значения в формулу для диагонали: \[(2a)^2 = a^2 + a^2 + OC^2\] \[4a^2 = 2a^2 + OC^2\] \[OC^2 = 2a^2\] \[OC = a\sqrt{2}\]
• Теперь найдем косинус угла γ между OD и OC: \[\cos \gamma = \frac{OC}{OD} = \frac{a\sqrt{2}}{2a} = \frac{\sqrt{2}}{2}\] Следовательно, γ = 45°.

Ответ: 45°