Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
В параллелограмме MNKP диагональ NP образует с его сторонами углы, равные \( 73^\circ \) и \( 16^\circ \).
Рассмотрим углы, образованные диагональю NP с двумя сторонами параллелограмма. На рисунке видно, что угол \( \angle NPK \) равен \( 16^\circ \) и угол \( \angle PNM \) равен \( 73^\circ \).
Поскольку NP является диагональю, она делит угол N параллелограмма на два угла. Один из них, \( \angle PNM \), равен \( 73^\circ \).
В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \( 180^\circ \).
Диагональ NP отсекает треугольник MNP. Угол \( \angle MNP \) в этом треугольнике равен \( 73^\circ \).
Также, \( \angle KPN = 16^\circ \).
Углы \( \angle PNM \) и \( \angle KPN \) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых MN || KP и секущей NP. Следовательно, \( \angle PNM = \angle KPN \) если бы они были накрест лежащими. Но в данном случае, \( \angle PNM \) и \( \angle KPN \) не являются накрест лежащими. Накрест лежащими являются \( \angle MNP \) и \( \angle KPN \) (при MN || KP и секущей NP) и \( \angle PNM \) и \( \angle NPM \) (при NK || MP и секущей NP).
Из условия задачи, диагональ NP образует с сторонами углы 73° и 16°. По рисунку видно, что \( \angle PNM = 73^\circ \) и \( \angle PNK = 16^\circ \) (или наоборот). Предположим, что \( \angle PNM = 73^\circ \) и \( \angle PNK = 16^\circ \). Тогда угол \( \angle MNK = \angle PNM + \angle PNK = 73^\circ + 16^\circ = 89^\circ \).
В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \( 180^\circ \). Следовательно, \( \angle MNK + \angle NKP = 180^\circ \) и \( \angle MNK + \angle KMP = 180^\circ \) (здесь \( \angle KMP \) это угол M).
Так как \( \angle MNK = 89^\circ \), то угол \( \angle NKP = 180^\circ - 89^\circ = 91^\circ \).
Сумма углов в параллелограмме равна \( 360^\circ \). Углы параллелограмма равны \( 89^\circ \), \( 91^\circ \), \( 89^\circ \), \( 91^\circ \).
Меньший угол параллелограмма равен \( 89^\circ \).
Проверим другое предположение:
Пусть \( \angle PNK = 73^\circ \) и \( \angle PNM = 16^\circ \). Тогда \( \angle MNK = 73^\circ + 16^\circ = 89^\circ \). Результат тот же.
Еще одно возможное толкование:
Диагональ NP образует с стороной MN угол \( 73^\circ \) (т.е. \( \angle MNP = 73^\circ \)) и с стороной NK угол \( 16^\circ \) (т.е. \( \angle KNP = 16^\circ \)).
Тогда угол \( \angle MNK = \angle MNP + \angle KNP = 73^\circ + 16^\circ = 89^\circ \).
В этом случае, так как \( \angle MNK = 89^\circ \), то смежный угол \( \angle NKP = 180^\circ - 89^\circ = 91^\circ \).
Углы параллелограмма равны \( 89^\circ \) и \( 91^\circ \).
Меньший угол равен \( 89^\circ \).
Теперь рассмотрим случай, когда углы образуются с другими сторонами:
Пусть диагональ NP образует с стороной MP угол \( 73^\circ \) (т.е. \( \angle NPM = 73^\circ \)) и с стороной KP угол \( 16^\circ \) (т.е. \( \angle KPN = 16^\circ \)).
Угол \( \angle MPK = \angle NPM + \angle KPN = 73^\circ + 16^\circ = 89^\circ \).
Угол \( \angle MPK \) является частью угла P параллелограмма.
В параллелограмме \( \angle KMP + \angle MPN = 180^\circ \).
Из рисунка следует, что углы \( 73^\circ \) и \( 16^\circ \) относятся к углу N. Дуги на рисунке отмечают, что угол N разделен на два угла, один из которых \( 73^\circ \), а другой \( 16^\circ \).
Следовательно, полный угол \( \angle MNK = 73^\circ + 16^\circ = 89^\circ \).
В параллелограмме сумма смежных углов равна \( 180^\circ \). Поэтому, угол \( \angle NKP = 180^\circ - \angle MNK = 180^\circ - 89^\circ = 91^\circ \).
Меньший угол параллелограмма равен \( 89^\circ \).
Итоговый вывод:
Угол \( \angle MNK \) состоит из двух частей, данных в условии: \( 73^\circ \) и \( 16^\circ \).
Следовательно, \( \angle MNK = 73^\circ + 16^\circ = 89^\circ \).
Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна \( 180^\circ \).
Тогда, \( \angle NKP = 180^\circ - \angle MNK = 180^\circ - 89^\circ = 91^\circ \).
Меньший угол параллелограмма равен \( 89^\circ \).
Ответ: 89
