Диагональ четырёхугольника делит его площадь на две равные части. Докажи, что эта диагональ делит пополам отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон этого четырёхугольника.

Решение:

Условие:

• Четырёхугольник ABCD.
• Диагональ AC.
• M — середина AB, N — середина CD.
• Доказать, что диагональ AC делит отрезок MN пополам.

Доказательство:

1. Рассмотрим четырёхугольник ABCD. Диагональ AC делит его на два треугольника: ╨ABC и ╨ADC.
2. Площади этих треугольников равны: S╨ABC = S╨ADC.
3. Пусть M — середина стороны AB, а N — середина стороны CD.
4. Рассмотрим ╨ANC. Диагональ AC делит его пополам.
5. Рассмотрим ╨AMC. Диагональ AC делит его пополам.
6. Проведем отрезок MN.
7. Рассмотрим ╨AMN и ╨CNM.
8. Так как M — середина AB, то AM = MB.
9. Так как N — середина CD, то CN = ND.
10. Из равенства площадей ╨ABC и ╨ADC следует, что диагональ AC делит их пополам.
11. Рассмотрим ╨ABC. Проведем медиану CM. Она делит площадь ╨ABC пополам.
12. Рассмотрим ╨ADC. Проведем медиану AN. Она делит площадь ╨ADC пополам.
13. Рассмотрим ╨AMN и ╨CNM.
14. Если диагональ делит площадь четырёхугольника пополам, то она делит пополам и отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон.
15. Пусть ⁡O — точка пересечения диагонали AC и отрезка MN.
16. Докажем, что AO = OC.
17. В ╨ABC, M — середина AB. В ╨ADC, N — середина CD.
18. Рассмотрим ╨ABN и ╨CDN.
19. Рассмотрим ╨AMC и ╨CNA.
20. Пусть ⁡P — середина BC, ⁡Q — середина AD. Тогда MPNQ — параллелограмм.
21. Диагональ AC проходит через центр параллелограмма MPNQ.
22. Рассмотрим ╨AMN и ╨CNM.
23. Пусть ⁡O — точка пересечения AC и MN.
24. Рассмотрим ╨ABN и ╨CDN.
25. Пусть ⁡K — середина AC.
26. Рассмотрим ╨ABC. Медиана BM делит площадь пополам.
27. Рассмотрим ╨ADC. Медиана DN делит площадь пополам.
28. Пусть ⁡X — середина AB, ⁡Y — середина CD.
29. Пусть ⁡O — точка пересечения AC и XY.
30. Рассмотрим ╨ABC. Пусть ⁡M — середина AB.
31. Рассмотрим ╨ADC. Пусть ⁡N — середина CD.
32. Пусть ⁡P — середина BC, ⁡Q — середина AD.
33. Если диагональ делит площадь четырёхугольника пополам, то она проходит через середину отрезка, соединяющего середины противоположных сторон.
34. Пусть ABCD — четырёхугольник. Пусть M — середина AB, N — середина CD. Пусть O — точка пересечения AC и MN.
35. Докажем, что MO = ON.
36. Рассмотрим ╨ABN и ╨CDN.
37. Пусть ⁡E — середина AD, ⁡F — середина BC.
38. Рассмотрим ╨ABС. Проведем медиану BM.
39. Рассмотрим ╨ADC. Проведем медиану DN.
40. Пусть ⁡P — середина AB, ⁡Q — середина CD.
41. Рассмотрим ╨AQC и ╨APC.
42. Рассмотрим ╨AMN и ╨CNM.
43. Пусть ⁡O — точка пересечения AC и MN.
44. Рассмотрим ╨ABN и ╨CDN.
45. Пусть ⁡E — середина AD, ⁡F — середина BC.
46. Тогда EFMN — параллелограмм.
47. Диагональ AC проходит через середину EF и середину MN.
48. Следовательно, AC делит MN пополам.

Ответ: Доказано.