Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 60° и 55°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Диагональ \(BD\) параллелограмма \(ABCD\) образует с его сторонами углы:

• \(\angle ABD = 60^{\circ}\)
• \(\angle BDC = 55^{\circ}\)

Так как \(AB \parallel DC\), то \(\angle ABD = \angle BDC = 55^{\circ}\) (как накрест лежащие при параллельных прямых \(AB\) и \(DC\) и секущей \(BD\)).

Однако в условии задачи указано, что \(\angle BDC = 55^{\circ}\), а \(\angle ABD = 60^{\circ}\). Проверим условие. Если \(\angle ABD = 60^{\circ}\) и \(\angle BDC = 55^{\circ}\), то \(\angle ABD \neq \angle BDC\), что противоречит тому, что \(AB \parallel DC\).

Предположим, что \(\angle DBC = 55^{\circ}\) и \(\angle ADB = 60^{\circ}\).

В параллелограмме \(ABCD\) стороны \(AD \parallel BC\), поэтому \(\angle ADB = \angle DBC = 55^{\circ}\) (как накрест лежащие при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(BD\)).

Условие задачи гласит, что диагональ \(BD\) образует с сторонами углы 60° и 55°. Это означает, что углы, которые диагональ \(BD\) образует со сторонами \(AB\) и \(BC\), или \(AB\) и \(AD\), или \(CD\) и \(BC\), или \(CD\) и \(AD\).

Рассмотрим углы, которые диагональ \(BD\) образует с сторонами \(AB\) и \(AD\).

Пусть \(\angle ABD = 60^{\circ}\) и \(\angle ADB = 55^{\circ}\).

В \(\triangle ABD\) сумма углов равна \(180^{\circ}\). Следовательно,

\(\angle BAD = 180^{\circ} - \angle ABD - \angle ADB = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 55^{\circ} = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}\).

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^{\circ}\). Значит,

\(\angle ABC = 180^{\circ} - \angle BAD = 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ}\).

Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому \(\angle BCD = \angle BAD = 65^{\circ}\) и \(\angle ADC = \angle ABC = 115^{\circ}\).

Углы параллелограмма: \(65^{\circ}, 115^{\circ}, 65^{\circ}, 115^{\circ}\). Меньший угол равен \(65^{\circ}\).

Теперь рассмотрим другой случай, когда \(\angle ABD = 55^{\circ}\) и \(\angle ADB = 60^{\circ}\).

В \(\triangle ABD\) сумма углов равна \(180^{\circ}\). Следовательно,

\(\angle BAD = 180^{\circ} - \angle ABD - \angle ADB = 180^{\circ} - 55^{\circ} - 60^{\circ} = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}\).

Этот случай дает тот же результат.

Возможен вариант, когда диагональ \(BD\) образует углы с соседними сторонами. Например, \(\angle CBD = 60^{\circ}\) и \(\angle CDB = 55^{\circ}\). В этом случае \(\angle ABD\) и \(\angle CDB\) накрест лежащие, поэтому \(\angle ABD = 55^{\circ}\). В \(\triangle BCD\) \(\angle BCD = 180 - 60 - 55 = 65^{\circ}\). Тогда \(\angle BAD = 65^{\circ}\). А \(\angle ABC = 180 - 65 = 115^{\circ}\).

Рассмотрим углы, которые диагональ образует с сторонами \(AB\) и \(BC\) или \(CD\) и \(AD\).

Если \(\angle ABD = 60^{\circ}\) и \(\angle CBD = 55^{\circ}\), то \(\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 60^{\circ} + 55^{\circ} = 115^{\circ}\). Тогда \(\angle BAD = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}\).

Если \(\angle ADB = 60^{\circ}\) и \(\angle CDB = 55^{\circ}\), то \(\angle ADC = \angle ADB + \angle CDB = 60^{\circ} + 55^{\circ} = 115^{\circ}\). Тогда \(\angle BAD = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}\).

В любом случае, меньший угол параллелограмма равен \(65^{\circ}\).

Ответ: 65.