Диагональ АС ромба ABCD равна 8, а tg BCA = 0, 75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

Пусть дан ромб ABCD. Диагональ AC = 8. Тангенс угла BCA равен 0,75.

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как O. Тогда AO = OC = AC / 2 = 8 / 2 = 4.

В треугольнике BOC угол BOC = 90°.

По условию, tg BCA = 0,75 = 3/4.

В прямоугольном треугольнике BOC, tg BCA = BO / OC.

Следовательно, BO = OC * tg BCA = 4 * 3/4 = 3.

Диагональ BD = 2 * BO = 2 * 3 = 6.

Площадь ромба S = (AC * BD) / 2 = (8 * 6) / 2 = 24.

Радиус вписанной окружности (r) в ромб можно найти по формуле: r = S / p, где p — полупериметр ромба.

Чтобы найти полупериметр, сначала найдем сторону ромба (a). В прямоугольном треугольнике BOC по теореме Пифагора: a² = BO² + OC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Значит, a = 5.

Полупериметр p = (4 * a) / 2 = (4 * 5) / 2 = 10.

r = S / p = 24 / 10 = 2,4.

Другой способ:

Радиус вписанной окружности в ромб также равен половине высоты ромба. Высоту ромба (h) можно найти из формулы площади: S = a * h.

24 = 5 * h

h = 24 / 5 = 4,8.

Радиус вписанной окружности r = h / 2 = 4,8 / 2 = 2,4.

Ответ: Радиус вписанной окружности равен 2,4.