Диагональ АС ромба ABCD равна 12, a tg BCA = 1/3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Треугольник ABC - равнобедренный.

В прямоугольном треугольнике BOC, tg(BCA) = OB/OC. Так как AC = 12, то OC = 6. Следовательно, OB = OC * tg(BCA) = 6 * (1/3) = 2.

Сторона ромба AB = √(OB² + OC²) = √(2² + 6²) = √40 = 2√10. Площадь ромба = (1/2) * AC * BD = (1/2) * 12 * (2 * OB) = 12 * 2 = 24. Радиус вписанной окружности = Площадь / полупериметр = 24 / (2 * AB) = 24 / (4√10) = 6/√10 = 3√10/5.