Диагональ АС ромба ABCD равна 12, a tg BCA = 0,25. Найдите площадь ромба.

Решение:

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей AC и BD — O.

Диагональ \( AC = 12 \), значит \( AO = OC = \frac{12}{2} = 6 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( △ BOC \). В нём \( ∠ BOC = 90^\circ \).

Нам известно, что \( \text{tg } ∠ BCA = 0.25 = \frac{1}{4} \).

В прямоугольном треугольнике \( △ BOC \), \( \text{tg } ∠ BCA = \frac{BO}{OC} \).

Отсюда \( BO = OC · \text{tg } ∠ BCA = 6 · \frac{1}{4} = \frac{6}{4} = 1.5 \).

Вторая диагональ ромба \( BD = 2 · BO = 2 · 1.5 = 3 \).

Площадь ромба вычисляется по формуле \( S = \frac{1}{2} · d_1 · d_2 \), где \( d_1 \) и \( d_2 \) — длины диагоналей.

\( S = \frac{1}{2} · AC · BD = \frac{1}{2} · 12 · 3 = 6 · 3 = 18 \).

Ответ: 18.