Диагональ \(AC\) трапеции \(ABCD\) пересекает среднюю линию в точке \(T\). Найдите отрезок \(AT\), если \(AC = 16\).

Рассмотрим трапецию \(ABCD\), где \(BC\) и \(AD\) - основания, \(MN\) - средняя линия, \(AC\) - диагональ, \(T\) - точка пересечения \(AC\) и \(MN\).

Поскольку \(MN\) - средняя линия, то она параллельна основаниям трапеции, то есть \(MN \parallel BC\) и \(MN \parallel AD\). Рассмотрим треугольник \(ABC\). В этом треугольнике отрезок \(MT\) является средней линией, так как \(M\) - середина стороны \(AB\) и \(MT \parallel BC\). Значит, точка \(T\) - середина отрезка \(AC\), и \(AT = TC\).

Дано, что \(AC = 16\). Так как \(AT = TC\) и \(AT + TC = AC\), то \(AT = \frac{1}{2}AC\).

Подставим значение \(AC\):

\[AT = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8\]

Таким образом, длина отрезка \(AT\) равна 8.

Ответ: 8