9. Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трех однородных соосных цилиндров: центрального массой $$m = 8$$ кг и радиуса $$R = 10$$ см, и двух боковых с массами $$M = 1$$ кг и с радиусами $$R + h$$. При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг·см², задается формулой $$I = \frac{(m + 2M)R^2}{2} + M(2Rh + h^2)$$. При каком максимальном значении $$h$$ момент инерции катушки не превышает предельного значения 625 кг·см²? Ответ выразите в сантиметрах.

Для начала подставим известные значения в формулу момента инерции:

$$I = \frac{(8 + 2 cdot 1) cdot 10^2}{2} + 1 cdot (2 cdot 10 cdot h + h^2)$$ $$I = \frac{10 cdot 100}{2} + 20h + h^2$$ $$I = 500 + 20h + h^2$$

По условию задачи, момент инерции не должен превышать 625 кг·см², то есть:

$$500 + 20h + h^2 \le 625$$

Перенесем все в одну сторону и получим квадратное неравенство:

$$h^2 + 20h + 500 - 625 \le 0$$ $$h^2 + 20h - 125 \le 0$$

Решим квадратное уравнение $$h^2 + 20h - 125 = 0$$:

$$D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 cdot 1 cdot (-125) = 400 + 500 = 900$$ $$h_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 \pm \sqrt{900}}{2 cdot 1} = \frac{-20 \pm 30}{2}$$

$$h_1 = \frac{-20 + 30}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$h_2 = \frac{-20 - 30}{2} = \frac{-50}{2} = -25$$

Так как $$h$$ не может быть отрицательным (это радиус), то рассмотрим только $$h_1 = 5$$ см.

Проверим, что при $$h = 5$$ см момент инерции не превышает 625 кг·см²:

$$I = 500 + 20 cdot 5 + 5^2 = 500 + 100 + 25 = 625$$

Таким образом, максимальное значение $$h$$ равно 5 см.

Ответ: 5 см.