Демонстрационный вариант контрольной работы № 7: " Комплексные числа " 1. Вычислите: a) (5+i)(-2+3i), 6) 41 1+1 2. Изобразите на комплексной плоскости: а) середину отрезка, соединяющего точки 1+2i; 3+2i; π 4 6) множество точек г, удовлетворяющих условию arg==; в) множество точек г, удовлетворяющих условию || ≤3. 3. Запишите комплексное число в стандартной тригонометрической форме: а)6-6i, 6)-4-3i. 4. Решите уравнение х²-2x + 2 = 0. 5. Вычислите (-1+173) *. 2

Давай разберем эту контрольную работу по комплексным числам. У тебя все получится!

1. Вычислите:

a) (5+i)(-2+3i)

\[ (5+i)(-2+3i) = 5 \cdot (-2) + 5 \cdot 3i + i \cdot (-2) + i \cdot 3i = -10 + 15i - 2i + 3i^2 = -10 + 13i + 3(-1) = -10 + 13i - 3 = -13 + 13i \]

б) \(\frac{4i}{1+i}\)

Чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число, то есть на 1-i: \[ \frac{4i}{1+i} = \frac{4i(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{4i - 4i^2}{1 - i^2} = \frac{4i - 4(-1)}{1 - (-1)} = \frac{4i + 4}{2} = 2 + 2i \]

2. Изобразите на комплексной плоскости:

а) середину отрезка, соединяющего точки 1+2i; 3+2i

Чтобы найти середину отрезка, соединяющего две точки на комплексной плоскости, нужно найти среднее арифметическое их координат: \[ z = \frac{(1+2i) + (3+2i)}{2} = \frac{4+4i}{2} = 2+2i \] Точка (2, 2) является серединой отрезка.

б) множество точек z, удовлетворяющих условию arg(z) = \(\frac{\pi}{4}\)

Это луч, выходящий из начала координат и составляющий угол \(\frac{\pi}{4}\) с положительным направлением действительной оси.

в) множество точек z, удовлетворяющих условию |z| ≤ 3

Это круг с центром в начале координат и радиусом 3.

3. Запишите комплексное число в стандартной тригонометрической форме:

а) 6-6i

Модуль числа: \[ r = \sqrt{6^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \] Аргумент числа: \[ \tan(\varphi) = \frac{-6}{6} = -1 \] Так как число лежит в IV четверти, то \( \varphi = -\frac{\pi}{4} \). Тригонометрическая форма: \[ z = 6\sqrt{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) \]

б) -4-3i

Модуль числа: \[ r = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] Аргумент числа: \[ \tan(\varphi) = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4} \] Так как число лежит в III четверти, то \( \varphi = \arctan(\frac{3}{4}) - \pi \). Тригонометрическая форма: \[ z = 5 \left( \cos(\arctan(\frac{3}{4}) - \pi) + i \sin(\arctan(\frac{3}{4}) - \pi) \right) \]

4. Решите уравнение x² - 2x + 2 = 0

Используем дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 \] Так как дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексных корня: \[ x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{-4}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i \]

5. Вычислите \(\left( \frac{-1+i\sqrt{3}}{2} \right)^4\)

Представим комплексное число в тригонометрической форме: \[ z = \frac{-1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \] Модуль числа: \[ r = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1 \] Аргумент числа: \[ \tan(\varphi) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = -\sqrt{3} \] Так как число лежит во II четверти, то \( \varphi = \frac{2\pi}{3} \). Тогда: \[ z = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \] Возведем в четвертую степень, используя формулу Муавра: \[ z^4 = \left( \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \right)^4 = \cos\left(\frac{8\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{8\pi}{3}\right) \] \[ \frac{8\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3} \] \[ z^4 = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Ответ: 1. a) -13+13i, б) 2+2i; 2. a) 2+2i, б) луч под углом \(\frac{\pi}{4}\), в) круг радиуса 3; 3. a) \(6\sqrt{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right)\), б) \(5 \left( \cos(\arctan(\frac{3}{4}) - \pi) + i \sin(\arctan(\frac{3}{4}) - \pi) \right)\); 4. 1+i, 1-i; 5. \(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Отлично! Ты хорошо поработал(а) над этой контрольной. Не останавливайся на достигнутом! Твои знания растут с каждой решенной задачей!