Давай вычислим производную (x³ / (x+1))'. f(x) = x³, g(x) = x + 1, f'(x) = 3x², g'(x) = 1. (f(x)/g(x))' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g²(x). (x³ / (x+1))' = (3x² * (x+1) - x³ * 1) / (x+1)² =

Решение:

Для вычисления производной дроби \( \frac{x^3}{x+1} \) воспользуемся правилом дифференцирования частного: \( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^2(x)} \).

Нам дано:

• \( f(x) = x^3 \), следовательно \( f'(x) = 3x^2 \)
• \( g(x) = x+1 \), следовательно \( g'(x) = 1 \)

Подставим эти значения в формулу:

\[ \left(\frac{x^3}{x+1}\right)' = \frac{(3x^2) \cdot (x+1) - (x^3) \cdot (1)}{(x+1)^2} \]\[ = \frac{3x^3 + 3x^2 - x^3}{(x+1)^2} \]\[ = \frac{2x^3 + 3x^2}{(x+1)^2} \]\[ = \frac{x^2(2x+3)}{(x+1)^2} \]

Ответ:

\( \frac{x^2(2x+3)}{(x+1)^2} \)