161. Даны высказывания А и В. Сформулируйте высказывания А ⇒ В и В ⇒ А. Определите истинность каждого из них. Если они оба истинные, сформулируйте утверждение о равно- сильности: а) А = «натуральное число и является чётным»; В = «квадрат натурального числа и является чётным числом»; б) А = «натуральное число и является нечётным»; В = «квадрат натурального числа п является нечётным числом»; в) А = «натуральное число и делится на 3»; В = «квадрат натурального числа п делится на 3»; г) А = «натуральное число п при делении на 3 даёт в остатке 1»; В = «квадрат натурального числа п при делении на 3 даёт в остатке 1»; д) А = «натуральное число п при делении на 3 даёт в остатке 2»; В = «квадрат натурального числа и при делении на 3 даёт в остатке 2».

Ответ: (а) A ⇒ B – истинно, B ⇒ A – истинно; (б) A ⇒ B – истинно, B ⇒ A – истинно; (в) A ⇒ B – истинно, B ⇒ A – ложно; (г) A ⇒ B – истинно, B ⇒ A – истинно; (д) A ⇒ B – истинно, B ⇒ A – истинно

Решение:

• а)
  • A ⇒ B: Если n чётное, то n² чётное. Это истинно.
  • B ⇒ A: Если n² чётное, то n чётное. Это истинно.
  • Утверждение о равносильности: n чётное ⇔ n² чётное.
• б)
  • A ⇒ B: Если n нечётное, то n² нечётное. Это истинно.
  • B ⇒ A: Если n² нечётное, то n нечётное. Это истинно.
  • Утверждение о равносильности: n нечётное ⇔ n² нечётное.
• в)
  • A ⇒ B: Если n делится на 3, то n² делится на 3. Это истинно.
  • B ⇒ A: Если n² делится на 3, то n делится на 3. Это ложно (например, n=4, n²=16).
• г)
  • A ⇒ B: Если n при делении на 3 даёт остаток 1, то n² при делении на 3 даёт остаток 1. Это истинно.
  • B ⇒ A: Если n² при делении на 3 даёт остаток 1, то n при делении на 3 даёт остаток 1. Это истинно.
  • Утверждение о равносильности: n при делении на 3 даёт остаток 1 ⇔ n² при делении на 3 даёт остаток 1.
• д)
  • A ⇒ B: Если n при делении на 3 даёт остаток 2, то n² при делении на 3 даёт остаток 2. Это истинно.
  • B ⇒ A: Если n² при делении на 3 даёт остаток 2, то n при делении на 3 даёт остаток 2. Это истинно.
  • Утверждение о равносильности: n при делении на 3 даёт остаток 2 ⇔ n² при делении на 3 даёт остаток 2.

Ответ: (а) A ⇒ B – истинно, B ⇒ A – истинно; (б) A ⇒ B – истинно, B ⇒ A – истинно; (в) A ⇒ B – истинно, B ⇒ A – ложно; (г) A ⇒ B – истинно, B ⇒ A – истинно; (д) A ⇒ B – истинно, B ⇒ A – истинно