Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Дано: \(A(-6,1)\), \(B(6,10)\), \(C(4,-4)\).
- Длина \(AB\): \[AB=\sqrt{(6-(-6))^2+(10-1)^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{225}=15.\]
- Уравнения прямых и угловые коэффициенты.
Для \(AB\): \[k_{AB}=\frac{10-1}{6-(-6)}=\frac{9}{12}=\frac34.\] Поэтому \[y-1=\frac34(x+6),\qquad y=\frac34x+\frac{11}{2}.\]
Для \(AC\): \[k_{AC}=\frac{-4-1}{4-(-6)}=-\frac5{10}=-\frac12.\] Поэтому \[y-1=-\frac12(x+6),\qquad y=-\frac12x-2.\] - Внутренний угол \(A\). Угловые коэффициенты сторон равны \(m_1=\frac34\) и \(m_2=-\frac12\). Тогда \[\tan A=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right|=\left|\frac{-\frac12-\frac34}{1-\frac38}\right|=\frac{10}{5}=2.\] Следовательно, \[\angle A=\arctan 2\approx1.107\text{ рад}.\]
- Высота \(CD\). Так как \(CD\perp AB\), её угловой коэффициент: \[k_{CD}=-\frac1{k_{AB}}=-\frac43.\] Через точку \(C(4,-4)\): \[y+4=-\frac43(x-4),\qquad y=-\frac43x+\frac43.\] В общем виде: \[4x+3y-4=0.\]
Длина высоты равна расстоянию от точки \(C\) до прямой \(AB\), записанной как \(3x-4y+22=0\): \[CD=\frac{|3\cdot4-4\cdot(-4)+22|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{50}{5}=10.\] - Окружность с диаметром \(CD\). Найдём точку \(D\) пересечения \(AB\) и \(CD\): \[\frac34x+\frac{11}{2}=-\frac43x+\frac43.\] После умножения на \(12\): \[9x+66=-16x+16,\qquad x=-2.\] Тогда \[y=\frac34(-2)+\frac{11}{2}=4.\] Значит, \(D(-2,4)\). Центр окружности — середина \(CD\): \[O\left(\frac{4+(-2)}2,\frac{-4+4}2\right)=(1,0).\] Радиус \(R=\frac{CD}{2}=5\). Поэтому уравнение окружности: \[(x-1)^2+y^2=25,\] или \[x^2+y^2-2x-24=0.\]
Ответ: \(AB=15\); \(AB: y=\frac34x+\frac{11}{2}\), \(k_{AB}=\frac34\); \(AC: y=-\frac12x-2\), \(k_{AC}=-\frac12\); \(\angle A=\arctan2\approx1.107\) рад; \(CD:4x+3y-4=0\), \(CD=10\); окружность: \((x-1)^2+y^2=25\).
