Даны три вектора в пространстве: \( \vec{a} = (1; 2; -1) \), \( \vec{b} = (0; 1; 3) \), \( \vec{c} = (2; 0; 1) \). 1. Найдите смешанное произведение \( (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \). 2. Определите, компланарны ли данные векторы. 3. Найдите объем параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Решение:

Даны векторы:

• \( \vec{a} = (1; 2; -1) \)
• \( \vec{b} = (0; 1; 3) \)
• \( \vec{c} = (2; 0; 1) \)

1. Найдём смешанное произведение \( (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \).

Смешанное произведение трёх векторов можно вычислить как определитель матрицы, составленной из координат этих векторов:

\[ (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} \]

Вычислим определитель:

\[ = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} \]
\[ = 1 \cdot (1 \cdot 1 - 3 \cdot 0) - 2 \cdot (0 \cdot 1 - 3 \cdot 2) - 1 \cdot (0 \cdot 0 - 1 \cdot 2) \]
\[ = 1 \cdot (1 - 0) - 2 \cdot (0 - 6) - 1 \cdot (0 - 2) \]
\[ = 1 \cdot 1 - 2 \cdot (-6) - 1 \cdot (-2) \]
\[ = 1 + 12 + 2 = 15 \]

2. Определим, компланарны ли данные векторы.

Три вектора называются компланарными, если их смешанное произведение равно нулю. В нашем случае смешанное произведение равно 15, что не равно нулю.

3. Найдём объем параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Объем параллелепипеда, построенного на векторах \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \), равен модулю смешанного произведения этих векторов:

\[ V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| \]

Так как смешанное произведение равно 15, то объем параллелепипеда равен:

\[ V = |15| = 15 \]

Ответ:

• 1. Смешанное произведение равно 15.
• 2. Векторы не компланарны, так как их смешанное произведение не равно нулю.
• 3. Объем параллелепипеда равен 15.