Даны точки А (3; -2), В (1;-1) и С (-1; 1). Найдите: 1) координаты векторов ВА и ВС; 2) модули векторов ВА и ВС; 3) координаты вектора МР = 4BA – BC; 4) скалярное произведение векторов ВА и ВС; 5) косинус угла между векторами ВА и ВС.

Дано:

• Точка \( A = (3; -2) \)
• Точка \( B = (1; -1) \)
• Точка \( C = (-1; 1) \)

1) Координаты векторов \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\)

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конечной точки вычесть координаты начальной точки.

Вектор \(\vec{BA}\):

\( Б\vec{A} = (x_A - x_B; y_A - y_B) = (3 - 1; -2 - (-1)) = (2; -1) \)

Вектор \(\vec{BC}\):

\( Б\vec{C} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (-1 - 1; 1 - (-1)) = (-2; 2) \)

Ответ: \(\vec{BA} = (2; -1)\), \(\vec{BC} = (-2; 2)\).

2) Модули векторов \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\)

Модуль вектора (его длина) находится по формуле \( |в}| = \sqrt{x^2 + y^2} \).

Модуль вектора \(\vec{BA}\):

\( |БА| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \)

Модуль вектора \(\vec{BC}\):

\( |БС| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)

Ответ: \(|БА| = \sqrt{5}\), \(|БС| = 2\sqrt{2}\).

3) Координаты вектора \(\vec{MP} = 4\vec{BA} - \vec{BC}\)

Сначала умножим вектор \(\vec{BA}\) на 4, а затем вычтем вектор \(\vec{BC}\).

Умножение вектора \(\vec{BA}\) на 4:

\( 4\vec{BA} = 4 \cdot (2; -1) = (4 \cdot 2; 4 \cdot (-1)) = (8; -4) \)

Вычитание вектора \(\vec{BC}\):

\( МР = 4\vec{BA} - \vec{BC} = (8; -4) - (-2; 2) = (8 - (-2); -4 - 2) = (10; -6) \)

Ответ: \(МР = (10; -6)\).

4) Скалярное произведение векторов \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\)

Скалярное произведение векторов находится по формуле \( в_1 \cdot \vec{в_2} = x_1x_2 + y_1y_2 \).

\( БА \cdot \u0411С = (2) \cdot (-2) + (-1) \cdot (2) = -4 - 2 = -6 \)

Ответ: -6.

5) Косинус угла между векторами \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\)

Косинус угла между двумя векторами находится по формуле: \( сос \alpha = \frac{в_1 \cdot \vec{в_2}}{|в_1| \cdot |в_2|} \).

Мы уже нашли скалярное произведение \(БА \cdot \u0411С = -6\), модули векторов \(|БА| = \sqrt{5}\) и \(|БС| = 2\sqrt{2}\).

\( \cos \alpha = \frac{-6}{\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{-6}{2\sqrt{10}} = \frac{-3}{\sqrt{10}} \)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{10}\):

\( \cos \alpha = \frac{-3 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{-3\sqrt{10}}{10} \)

Ответ: \( \cos \alpha = \frac{-3\sqrt{10}}{10} \).