Даны точки A(2; -1), B(-3; 4), C(1; 5). Найдите координаты точки D, если ABCD — параллелограмм.

Решение:

Чтобы ABCD был параллелограммом, векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{DC}\) должны быть равны. Также векторы \(\vec{AD}\) и \(\vec{BC}\) должны быть равны.

Пусть координаты точки D будут \((x; y)\).

Найдем координаты вектора \(\vec{AB}\):

\(\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (-3 - 2; 4 - (-1)) = (-5; 5)\).

Найдем координаты вектора \(\vec{DC}\):

\(\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D) = (1 - x; 5 - y)\).

Приравниваем векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{DC}\):

\(-5 = 1 - x \implies x = 1 + 5 = 6\)

\(5 = 5 - y \implies y = 5 - 5 = 0\)

Итак, координаты точки D — \((6; 0)\).

Проверим, приравняв векторы \(\vec{AD}\) и \(\vec{BC}\).

Найдем координаты вектора \(\vec{AD}\):

\(\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A) = (6 - 2; 0 - (-1)) = (4; 1)\).

Найдем координаты вектора \(\vec{BC}\):

\(\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (1 - (-3); 5 - 4) = (4; 1)\).

Векторы \(\vec{AD}\) и \(\vec{BC}\) равны, что подтверждает правильность нахождения координат точки D.

Ответ: D(6; 0).