Даны отрезки P₁Q₁, P₂Q₂ и P₃Q₃. Постройте треугольник АВС так, чтобы: a) AB=P₁Q₁, BC=P₂Q₂, CA = 2P₃Q₃; б) AB=2P₁Q₁, BC=P₂Q₂, CA=3/2 P₃Q₃. Всегда ли задача имеет решение?

Для существования треугольника необходимо выполнение неравенства треугольника. В пункте а) задача имеет решение, если P₁Q₁ + P₂Q₂ > 2P₃Q₃, P₁Q₁ + 2P₃Q₃ > P₂Q₂, и P₂Q₂ + 2P₃Q₃ > P₁Q₁. В пункте б) задача имеет решение, если 2P₁Q₁ + P₂Q₂ > 3/2 P₃Q₃, 2P₁Q₁ + 3/2 P₃Q₃ > P₂Q₂, и P₂Q₂ + 3/2 P₃Q₃ > 2P₁Q₁. Не всегда, так как неравенство треугольника может не выполняться.