Даны координаты трех вершин прямоугольника ABCD: A(-4;-2); C(2; 4) и D(2; -2). 1) Начертите этот прямоугольник. 2) Найдите координаты вершины B. 3) Найдите координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника. 4) Вычислите площадь и периметр прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка координатных осей равна 1 см.

Решение:

Дано: Прямоугольник ABCD. Координаты вершин: A(-4;-2), C(2; 4), D(2; -2).

1) Построение прямоугольника:

Отметим данные точки на координатной плоскости и соединим их. Поскольку ABCD — прямоугольник, сторона AD перпендикулярна стороне CD, и стороны AD и BC параллельны, как и стороны AB и CD.

2) Нахождение координат вершины B:

В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны. Вектор \( AD = D - A = (2 - (-4), -2 - (-2)) = (6, 0) \). Вектор \( BC = C - B \). Так как \( AD = BC \), то \( (6, 0) = (2 - x_B, 4 - y_B) \). Отсюда \( 2 - x_B = 6 \) и \( 4 - y_B = 0 \). Решая эти уравнения, получаем \( x_B = -4 \) и \( y_B = 4 \). Значит, координаты вершины B: (-4; 4).

3) Нахождение координат точки пересечения диагоналей:

Точка пересечения диагоналей прямоугольника является серединой любой из диагоналей. Найдем середину диагонали AC. Координаты середины точки \( M \) отрезка \( AC \) равны:

\( M = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \left( \frac{-4 + 2}{2}, \frac{-2 + 4}{2} \right) = \left( \frac{-2}{2}, \frac{2}{2} \right) = (-1, 1) \)

Координаты точки пересечения диагоналей: (-1; 1).

4) Вычисление площади и периметра прямоугольника:

Длина стороны AD:

\( AD = |2 - (-4)| = |6| = 6 \) см.

Длина стороны CD:

\( CD = |4 - (-2)| = |6| = 6 \) см.

Площадь прямоугольника:

\( S = AD \cdot CD = 6 \cdot 6 = 36 \) см².

Периметр прямоугольника:

\( P = 2(AD + CD) = 2(6 + 6) = 2(12) = 24 \) см.

Ответ: 1) Прямоугольник построен на координатной плоскости. 2) Координаты вершины B: (-4; 4). 3) Координаты точки пересечения диагоналей: (-1; 1). 4) Площадь прямоугольника: 36 см², периметр: 24 см.