Даны два сосуда А и В с прямоугольными основаниями. Сосуд А наполнен водой, а сосуд В пустой. После того как открыли кран, из сосуда А в сосуд В потекла вода со скоростью 10 л/min. Когда сосуд В наполнился водой, высота уровня воды в сосуде А составила $$\frac{2}{3}$$ части от первоначальной высоты уровня воды. a) За какое время наполнится сосуд В? b) Какова высота сосуда А? c) Сколько минут потребуется, чтобы опорожнить сосуд А?

Решение:

a) За какое время наполнится сосуд В?

Определим объем сосуда B. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $$V = a \cdot b \cdot c$$, где a, b, c - длина, ширина и высота соответственно.

$$V_B = 15 \text{ см} \cdot 20 \text{ см} \cdot 30 \text{ см} = 9000 \text{ см}^3$$

Переведем кубические сантиметры в литры, зная, что 1 литр = 1000 кубических сантиметров.

$$V_B = 9000 \text{ см}^3 = 9 \text{ л}$$

Сосуд В наполняется со скоростью 10 л/мин. Чтобы найти время наполнения сосуда В, разделим объем сосуда на скорость наполнения.

$$t = \frac{V_B}{v} = \frac{9 \text{ л}}{10 \text{ л/мин}} = 0.9 \text{ мин}$$

Ответ: 0.9 минуты

b) Какова высота сосуда А?

Пусть высота сосуда А равна h. Когда сосуд В наполнился водой, высота воды в сосуде А уменьшилась на треть, то есть осталась $$\frac{2}{3}h$$. Это означает, что $$\frac{1}{3}h$$ объема сосуда А перетекла в сосуд В.

Найдем объем, который перетек из сосуда А в сосуд В:

$$V_{A, \text{перетек}} = \frac{1}{3}V_A = \frac{1}{3} (30 \text{ см} \cdot 30 \text{ см} \cdot h) = 300 \text{ см}^2 \cdot h / 3 = 300 \text{ см}^2 \cdot \frac{h}{3}$$

Этот объем равен объему сосуда В, то есть 9000 см³.

$$300 \text{ см}^2 \cdot \frac{h}{3} = 9000 \text{ см}^3$$

$$\frac{h}{3} = \frac{9000 \text{ см}^3}{300 \text{ см}^2} = 30 \text{ см}$$

$$h = 30 \text{ см} \cdot 3 = 90 \text{ см}$$

Ответ: 90 см

c) Сколько минут потребуется, чтобы опорожнить сосуд А?

Объем сосуда А:

$$V_A = 30 \text{ см} \cdot 30 \text{ см} \cdot 90 \text{ см} = 81000 \text{ см}^3 = 81 \text{ л}$$

Чтобы найти время, необходимое для опорожнения сосуда А, разделим его объем на скорость вытекания воды.

$$t = \frac{V_A}{v} = \frac{81 \text{ л}}{10 \text{ л/мин}} = 8.1 \text{ мин}$$

Ответ: 8.1 минуты