1.Даны два прямоугольных треугольника ДАВС, ДАРС С (рис1). АС - биссектриса, < ВАС = 35°. Доказать: ДАВС = ∆ADC. Найти < BCD.

Решение:

1. Доказательство равенства треугольников \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\)
• Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\).
• \(AC\) - биссектриса угла \(\angle BAD\), следовательно, \(\angle BAC = \angle DAC = 35^\circ\).
• \(AC\) - общая сторона.
• \(\angle B = \angle D = 90^\circ\) (по условию треугольники прямоугольные).
• Следовательно, \(\triangle ABC = \triangle ADC\) по гипотенузе и острому углу.
2. Нахождение угла \(\angle ACD\)
• Так как \(\triangle ADC\) - прямоугольный, то сумма его острых углов равна \(90^\circ\).
• \(\angle DAC + \angle ACD = 90^\circ\).
• \(\angle DAC = 35^\circ\), следовательно, \(\angle ACD = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\).
3. Нахождение угла \(\angle BCD\)
• Так как \(\triangle ABC = \triangle ADC\), то \(\angle BCA = \angle DCA = 55^\circ\).
• \(\angle BCD = \angle BCA + \angle DCA = 55^\circ + 55^\circ = 110^\circ\).

Ответ: \(\angle BCD = 110^\circ\)

Проверка за 10 секунд: Убедись, что найденный угол BCD больше 90 градусов, что соответствует визуальной оценке на чертеже.

Доп. профит: База. Равенство треугольников часто доказывается через признаки равенства, что позволяет найти равные углы и стороны.