Даны буквы: А, И, Н, Х, Д, М. Сколько вариантов трёхзначных шифров можно составить из этих букв, если буквы в шифре не должны повторяться?

Решение:

В задаче нужно найти количество трёхзначных шифров, которые можно составить из 6 различных букв (А, И, Н, Х, Д, М) без повторений. Это задача на размещение без повторений.

Формула для размещения без повторений:

P_n^k = \( \frac{n!}{(n-k)!} \)

где:

• \( n \) — общее количество элементов (в данном случае, количество данных букв).
• \( k \) — количество выбираемых элементов (в данном случае, длина шифра).

В нашем случае \( n = 6 \) (буквы А, И, Н, Х, Д, М) и \( k = 3 \) (трёхзначный шифр).

Подставляем значения в формулу:

P₆³ = \( \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} \)

Рассчитаем факториалы:

• \( 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \)
• \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)

Теперь найдём результат:

P₆³ = \( \frac{720}{6} = 120 \)

Другой способ решения:

На первом месте шифра может быть любая из 6 букв.

На втором месте шифра может быть любая из оставшихся 5 букв (так как повторения не допускаются).

На третьем месте шифра может быть любая из оставшихся 4 букв.

Общее количество вариантов равно произведению числа вариантов на каждой позиции:

\( 6 \times 5 \times 4 = 120 \)

Ответ: 120 вариантов.