2. Дано: ABCD - четырехугольник, AC = BD, P, M, K, N — середины сторон, PK = 6, MN = 4 (рис. 49). Найти SABCD-

Решение:

Пусть ABCD - данный четырёхугольник, AC = BD, P, M, K, N - середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно. PK = 6, MN = 4.

Соединим точки P и N, M и K. PN - средняя линия треугольника ABD, MK - средняя линия треугольника BCD. Значит, PN = BD/2, MK = BD/2. Следовательно, PN = MK.

Аналогично, PM - средняя линия треугольника ABC, NK - средняя линия треугольника ADC. PM = AC/2, NK = AC/2. Следовательно, PM = NK.

Таким образом, PMKN - параллелограмм (т.к. противоположные стороны попарно равны).

Так как диагонали AC = BD, то PN = PM = AC/2 = BD/2. Следовательно, PMKN - прямоугольник (т.к. диагонали равны).

Площадь прямоугольника PMKN равна PK * MN = 6 * 4 = 24.

Площадь четырёхугольника ABCD равна удвоенной площади прямоугольника PMKN, т.е. S(ABCD) = 2 * S(PMKN) = 2 * 24 = 48.

Ответ: 48.