1. Дано: a3 = 6V3 Найти: a6; P6;S3 2. Дано: a4 = 4/6 Найти: a3; P4; S3; S4 3. Дано: a4= 4/2 Найти: a6; P4; S4

Готов помочь тебе с решением этих задач! Это задачи на геометрию, и для их решения нам понадобятся знания о правильных многоугольниках, их сторонах, периметрах и площадях. Давай разберем каждую задачу по порядку. Задача 1 Дано: Правильный треугольник со стороной \( a_3 = 6\sqrt{3} \) Нужно найти: Сторону правильного шестиугольника \( a_6 \), периметр правильного шестиугольника \( P_6 \) и площадь правильного треугольника \( S_3 \). Решение: В правильном треугольнике, описанном вокруг правильного шестиугольника, сторона треугольника связана со стороной шестиугольника следующим образом: \[ a_3 = 2a_6\sqrt{3} \] Подставим известное значение \( a_3 \): \[ 6\sqrt{3} = 2a_6\sqrt{3} \] Решим уравнение относительно \( a_6 \): \[ a_6 = \frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 3 \] Периметр правильного шестиугольника: \[ P_6 = 6a_6 = 6 \cdot 3 = 18 \] Площадь правильного треугольника: \[ S_3 = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(6\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = 27\sqrt{3} \] Задача 2 Дано: Квадрат со стороной \( a_4 = 4\sqrt{6} \) Нужно найти: Сторону правильного треугольника \( a_3 \), периметр квадрата \( P_4 \), площадь правильного треугольника \( S_3 \) и площадь квадрата \( S_4 \). Решение: Если в квадрат вписан правильный треугольник, то сторона квадрата связана со стороной треугольника следующим образом: \[ a_4 = \frac{a_3}{\sqrt{2}} + \frac{a_3}{2} \] Выразим \( a_3 \) через \( a_4 \): \[ a_3 = \frac{2a_4}{\sqrt{2} + 1} \] Подставим известное значение \( a_4 \): \[ a_3 = \frac{2 \cdot 4\sqrt{6}}{\sqrt{2} + 1} = \frac{8\sqrt{6}}{\sqrt{2} + 1} \] Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( \sqrt{2} - 1 \): \[ a_3 = \frac{8\sqrt{6}(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{8\sqrt{6}(\sqrt{2} - 1)}{2 - 1} = 8\sqrt{6}(\sqrt{2} - 1) = 8\sqrt{12} - 8\sqrt{6} = 16\sqrt{3} - 8\sqrt{6} \] Периметр квадрата: \[ P_4 = 4a_4 = 4 \cdot 4\sqrt{6} = 16\sqrt{6} \] Площадь правильного треугольника: \[ S_3 = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(16\sqrt{3} - 8\sqrt{6})^2\sqrt{3}}{4} \] \[ S_3 = \frac{(256 \cdot 3 - 2 \cdot 16 \sqrt{3} \cdot 8 \sqrt{6} + 64 \cdot 6)\sqrt{3}}{4} \] \[ S_3 = \frac{(768 - 256 \sqrt{18} + 384)\sqrt{3}}{4} = \frac{(1152 - 768 \sqrt{2})\sqrt{3}}{4} = 288\sqrt{3} - 192\sqrt{6} \] Площадь квадрата: \[ S_4 = a_4^2 = (4\sqrt{6})^2 = 16 \cdot 6 = 96 \] Задача 3 Дано: Квадрат со стороной \( a_4 = 4\sqrt{2} \) Нужно найти: Сторону правильного шестиугольника \( a_6 \), периметр квадрата \( P_4 \) и площадь квадрата \( S_4 \). Решение: Если в квадрат вписан правильный шестиугольник, то сторона квадрата связана со стороной шестиугольника следующим образом: \[ a_4 = a_6 + \frac{a_6}{\sqrt{3}} \] Выразим \( a_6 \) через \( a_4 \): \[ a_6 = \frac{a_4}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{a_4}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}} = \frac{a_4\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} \] Подставим известное значение \( a_4 \): \[ a_6 = \frac{4\sqrt{2}\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{3} + 1} \] Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( \sqrt{3} - 1 \): \[ a_6 = \frac{4\sqrt{6}(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{4\sqrt{6}(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{4\sqrt{6}(\sqrt{3} - 1)}{2} = 2\sqrt{6}(\sqrt{3} - 1) = 2\sqrt{18} - 2\sqrt{6} = 6\sqrt{2} - 2\sqrt{6} \] Периметр квадрата: \[ P_4 = 4a_4 = 4 \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \] Площадь квадрата: \[ S_4 = a_4^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32 \]

Ответ:

1) \(a_6 = 3\), \(P_6 = 18\), \(S_3 = 27\sqrt{3}\)

2) \(a_3 = 16\sqrt{3} - 8\sqrt{6}\), \(P_4 = 16\sqrt{6}\), \(S_3 = 288\sqrt{3} - 192\sqrt{6}\), \(S_4 = 96\)

3) \(a_6 = 6\sqrt{2} - 2\sqrt{6}\), \(P_4 = 16\sqrt{2}\), \(S_4 = 32\)

Отлично! Ты проделал большую работу, разобравшись с этими задачами. Не останавливайся на достигнутом, и у тебя все получится!