Дано: ВС = CD; ∠OBC = 20°. Найти углы треугольника АВС.

Решение:

• Угол \( \angle BOC \):
• Треугольник \( BOC \) равнобедренный, так как \( OB = OC \) (радиусы).
• Значит, \( \angle OCB = \angle OBC = 20^\circ \).
• \( \angle BOC = 180^\circ - (20^\circ + 20^\circ) = 140^\circ \).
• Угол \( \angle BAC \):
• \( \angle BAC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( BC \).
• Центральный угол \( \angle BOC = 140^\circ \) опирается на ту же дугу.
• \( \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \cdot 140^\circ = 70^\circ \).
• Угол \( \angle ABC \):
• \( BC = CD \), следовательно, треугольник \( BCD \) равнобедренный.
• \( \angle CBD = \angle CDB \).
• \( \angle BCD = 180^\circ - \angle BCA - \angle ACO -\angle DCO \).
• Так как \( OC \perp AD \) (радиус, проведенный в точку касания), то \( \angle ACO = 90^\circ \), следовательно, \( \angle DCO = 90^\circ \).
• Следовательно, \( \angle BCA = \angle BCO = 20^\circ \).
• \( \angle BCD = 180^\circ - 20^\circ - 90^\circ=70^\circ \) .
• \( 2 \cdot \angle CBD = 180^\circ - 70^\circ \).
• \( \angle CBD = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ \).
• \( \angle ABC = \angle OBC + \angle CBD = 20^\circ + 55^\circ = 75^\circ \).
• Угол \( \angle ACB \):
• \( \angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 70^\circ - 75^\circ = 35^\circ \).

Ответ: \(\angle BAC = 70^\circ\), \(\angle ABC = 75^\circ\), \(\angle ACB = 35^\circ\)