Дано уравнение \(\log_{4}(5x - 4) - \frac{3}{\log_{4}(5x - 4) - 1} + 1 = 0\). Найдите корни данного уравнения.

Решение:

Пусть \( y = \log_{4}(5x - 4) \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y - \frac{3}{y - 1} + 1 = 0 \]

Умножим обе части на \( (y - 1) \), при условии \( y \neq 1 \):

\[ y(y - 1) - 3 + (y - 1) = 0 \]

\[ y^2 - y - 3 + y - 1 = 0 \]

\[ y^2 - 4 = 0 \]

\[ y^2 = 4 \]

Следовательно, \( y = 2 \) или \( y = -2 \).

Рассмотрим оба случая:

1. Случай 1: \( y = 2 \)

\( \log_{4}(5x - 4) = 2 \)

По определению логарифма:

\[ 5x - 4 = 4^2 \]

\[ 5x - 4 = 16 \]

\[ 5x = 20 \]

\[ x = 4 \]

Проверим условие \( y \neq 1 \): \( \log_{4}(5 \cdot 4 - 4) = \log_{4}(16) = 2 \), что не равно 1. Значит, \( x = 4 \) является корнем.

2. Случай 2: \( y = -2 \)

\( \log_{4}(5x - 4) = -2 \)

По определению логарифма:

\[ 5x - 4 = 4^{-2} \]

\[ 5x - 4 = \frac{1}{16} \]

\[ 5x = 4 + \frac{1}{16} \]

\[ 5x = \frac{64 + 1}{16} \]

\[ 5x = \frac{65}{16} \]

\[ x = \frac{65}{16 \cdot 5} \]

\[ x = \frac{13}{16} \]

Проверим условие \( y \neq 1 \): \( \log_{4}(5 \cdot \frac{13}{16} - 4) = \log_{4}(\frac{65}{16} - \frac{64}{16}) = \log_{4}(\frac{1}{16}) = -2 \), что не равно 1. Значит, \( x = \frac{13}{16} \) является корнем.

Ответ: Уравнение имеет два корня: \( x_1 = 4, x_2 = \frac{13}{16} \).