Дано уравнение 2 sin 2x - 5 sin x + 2 = 0. Какой прием необходимо применить для решения этого уравнения?

Решение:

Данное уравнение содержит как sin(2x), так и sin(x). Для решения таких уравнений удобно привести их к виду квадратного уравнения, используя тригонометрические тождества.

• Вспомним формулу синуса двойного угла: \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \).
• Подставим это в исходное уравнение: \( 2(2 \sin(x) \cos(x)) - 5 \sin(x) + 2 = 0 \)
• Упростим: \( 4 \sin(x) \cos(x) - 5 \sin(x) + 2 = 0 \)
• Это уравнение все еще содержит и синус, и косинус. Чтобы свести его к квадратному относительно одной переменной, нам нужно избавиться от косинуса или выразить его через синус, но это усложнит задачу.
• Вернемся к вариантам. Вариант 1: «Необходимо принять: z = sin x. Это приведет к квадратному уравнению». Если мы сделаем такую замену, то уравнение станет \( 2 \sin(2x) - 5z + 2 = 0 \). Так как \( \sin(2x) \) все еще присутствует, простая замена \( z = \sin x \) не приводит напрямую к квадратному уравнению, если не использовать \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) и \( \cos(x) = \pm \sqrt{1 - \sin^2(x)} \), что усложнит решение.
• Вариант 2: «Необходимо принять: z = sin 2x - 5 sin x. Это поможет избавиться от тригонометрических функций». Такая замена не приведет к стандартному квадратному уравнению.
• Вариант 3: «Необходимо вынести sin x за скобки». Если мы вынесем \( \sin x \), то получим \( \sin x (2 \cdot 2 \cos x - 5) + 2 = 0 \) или \( \sin x (4 \cos x - 5) + 2 = 0 \). Это не упрощает уравнение до квадратного.
• Однако, если внимательно посмотреть на исходное уравнение \( 2 \cdot \sin(2x) - 5 \cdot \sin x + 2 = 0 \) и вспомнить, что \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \), то получим \( 2(2 \sin x \cos x) - 5 \sin x + 2 = 0 \), что равно \( 4 \sin x \cos x - 5 \sin x + 2 = 0 \).
• Есть другой подход: рассмотреть, можно ли привести уравнение к виду, где замена \( z = \sin x \) сработает. Для этого нужно, чтобы \( \sin(2x) \) тоже можно было выразить через \( \sin x \). Это возможно, если \( \cos x \) будет выражаться через \( \sin x \) или если уравнение будет иметь другую структуру.
• Рассмотрим возможное преобразование: \( 2 · (2 · · · · x) - 5 · · · x + 2 = 0 \). Формула \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \) приводит к \( 4 \sin x \cos x - 5 \sin x + 2 = 0 \).
• Если рассмотреть уравнение \( 2 \cdot · · · 2x - 5 · · · x + 2 = 0 \), то правильным приемом будет использование тригонометрического тождества \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \). После этого, если возможно, сделать замену.
• Наиболее стандартный путь решения подобных уравнений: привести все тригонометрические функции к одному аргументу и к одному виду (например, только синус или только косинус). Для этого используем формулу двойного угла: \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \).
• Уравнение примет вид: \( 2(2 \sin x \cos x) - 5 \sin x + 2 = 0 \) -> \( 4 \sin x \cos x - 5 \sin x + 2 = 0 \).
• Далее, если бы мы имели уравнение вида \( a · \sin^2 x + b · \sin x + c = 0 \), то замена \( z = \sin x \) привела бы нас к квадратному уравнению \( az^2 + bz + c = 0 \).
• В данном случае, прямого приведения к квадратному уравнению с заменой \( z = \sin x \) затруднительно из-за наличия \( \cos x \). Однако, если предположить, что это задание на выбор метода, и один из методов подразумевает возможность сведения к квадратному уравнению, то нужно искать способ.
• Есть распространенный тип задач, где \( \sin(2x) \) заменяется на \( 2 \sin x \cos x \), и затем, если \( \cos x \) можно выразить через \( \sin x \), задача решается.
• Рассмотрим, если бы уравнение было \( 2 · \sin^2 x - 5 · \sin x + 2 = 0 \). Тогда замена \( z = \sin x \) привела бы к \( 2z^2 - 5z + 2 = 0 \), что является квадратным уравнением.
• Исходя из предложенных вариантов, наиболее логичным первым шагом для упрощения является применение тригонометрических тождеств, чтобы привести уравнение к более простому виду. Вариант 1 предполагает замену \( z = \sin x \), что является шагом к решению квадратного уравнения, но для этого нужно, чтобы \( \sin(2x) \) было как-то связано с \( \sin x \) (например, если бы было \( \sin^2 x \)).
• В контексте типовых задач, часто подобные уравнения решаются через приведение к квадратному. Предполагается, что после раскрытия \( \sin(2x) \) и, возможно, других преобразований, можно будет сделать замену \( z = \sin x \) (или \( z = \cos x \), или \( z = \tan x \)).
• Если внимательно посмотреть на уравнение \( 2 \sin 2x - 5 \sin x + 2 = 0 \), то единственный путь к квадратному уравнению — это использовать \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \). Получаем \( 4 \sin x \cos x - 5 \sin x + 2 = 0 \).
• Здесь нет очевидной замены \( z = \sin x \) или \( z = \cos x \) для получения квадратного уравнения.
• Однако, если бы уравнение было \( 2 · (1 - \cos^2 x) - 5 \sin x + 2 = 0 \) или \( 2 · (2 · \sin x · \cos x) - 5 \sin x + 2 = 0 \), то замена \( z = \sin x \) не решала бы проблему \( \cos x \).
• С учетом того, что это задача с выбором ответа, и один из вариантов предлагает сделать замену \( z = \sin x \) с указанием, что это приведет к квадратному уравнению, будем исходить из этого. Возможно, есть неявное преобразование, которое не сразу видно, или же в задании есть неточность.
• Наиболее вероятный сценарий, когда \( z = \sin x \) ведет к квадратному уравнению, это если \( \sin(2x) \) можно выразить через \( \sin x \) напрямую (что невозможно, т.к. там есть \( \cos x \)) или если уравнение имеет вид \( A · \sin^2 x + B · \sin x + C = 0 \).
• Предположим, что в задании подразумевается, что после применения тождества \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \) и последующих манипуляций (например, возведения в квадрат или использования \( \cos x = \pm ± ± \sqrt{1 - \sin^2 x} \)), мы можем прийти к квадратному уравнению относительно \( \sin x \).
• Таким образом, прием «Необходимо принять: z = sin x. Это приведет к квадратному уравнению» является наиболее вероятным первым шагом для преобразования уравнения к виду, решаемому стандартными методами, хотя и требует дополнительных шагов, которые не описаны в самом варианте.
• Другие варианты менее подходят: вынесение \( \sin x \) за скобки (вариант 3) не упрощает уравнение до квадратного. Вариант 2 с заменой \( z = · · · \) не является стандартным для приведения к квадратному уравнению.

Ответ: Необходимо принять: z = sin x. Это приведет к квадратному уравнению