Дано: \(\triangle ABC\) — равнобедренный, \(BM\) — медиана, \(MC = 3\), \(\angle ABM = 30^\). Найти: \(AB\). Решение:

Задание по геометрии

Дано:

• \(\triangle ABC\) — равнобедренный.
• \(BM\) — медиана.
• \(MC = 3\).
• \(\angle ABM = 30^\).

Найти: длину стороны \(AB\).

Решение:

1. По условию \(\triangle ABC\) — равнобедренный, и \(BM\) — медиана. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой. Следовательно, \(BM \perp AC\), то есть \(\angle BMA = 90^\).
2. Нам дано, что \(MC = 3\). Так как \(BM\) — медиана, то \(AM = MC = 3\).
3. Рассмотрим прямоугольный \(\triangle BMA\). Угол \(\angle ABM = 30^\) и \(\angle BMA = 90^\).
4. В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. То есть: \[ \tan(\angle ABM) = \frac{AM}{BM} \]
5. Подставим известные значения: \[ \tan(30^) = \frac{3}{BM} \]
6. Значение \(\tan(30^) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) (или \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)).
7. Тогда: \[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{BM} \]
8. Отсюда найдём \(BM\): \[ BM = 3 \cdot \sqrt{3} \]
9. Теперь рассмотрим прямоугольный \(\triangle BMC\). У нас есть катеты \(BM = 3\sqrt{3}\) и \(MC = 3\).
10. По теореме Пифагора найдём гипотенузу \(BC\) (которая равна \(AB\), так как \(\triangle ABC\) равнобедренный): \[ BC^2 = BM^2 + MC^2 \]
11. Подставим значения: \[ BC^2 = (3\sqrt{3})^2 + 3^2 = (9 \cdot 3) + 9 = 27 + 9 = 36 \]
12. Извлечём квадратный корень: \[ BC = \sqrt{36} = 6 \]
13. Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный и \(BM\) — медиана к основанию \(AC\), то \(AB = BC\).
14. Следовательно, \(AB = 6\).

Ответ: AB = 6.