Дано: \(\triangle ABC\); MN — средняя линия. \(S_{ABC} = 144 \text{ см}^2\). Найти: \(S_{MBN}\).

Решение:

Средняя линия треугольника MN параллельна основанию AC и равна его половине. Треугольники \(MBN\) и \(ABC\) подобны с коэффициентом подобия \(k = \frac{1}{2}\), так как MN || AC.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \(\frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = k^2\).

\(\frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\).

Следовательно, \(S_{MBN} = \frac{1}{4} \cdot S_{ABC}\).

\(S_{MBN} = \frac{1}{4} \cdot 144 \text{ см}^2 = 36 \text{ см}^2\).

Ответ: \(S_{MBN} = 36 \text{ см}^2\).