Дано \( \triangle ABC \). \( \angle C = 90^{\circ} \). \( AS \) — биссектриса. \( \angle BAS = 15^{\circ} \). \( AB = 20 \) см. Найти \( BC \).

Решение:

1. \( AS \) — биссектриса \( \angle BAC \), значит \( \angle BAC = 2 \cdot \angle BAS = 2 \cdot 15^{\circ} = 30^{\circ} \).
2. В прямоугольном \( \triangle ABC \) угол \( \angle C = 90^{\circ} \).
3. \( BC \) — катет, противолежащий углу \( \angle BAC \).
4. По определению синуса: \( \sin(\angle BAC) = \frac{BC}{AB} \).
5. \( BC = AB \cdot \sin(\angle BAC) \).
6. \( BC = 20 \text{ см} \cdot \sin(30^{\circ}) \).
7. \( \sin(30^{\circ}) = 0.5 \).
8. \( BC = 20 \text{ см} \cdot 0.5 \)
9. \( BC = 10 \text{ см} \)

Ответ: \( BC = 10 \) см.