Дано: sin P = 5/7 CP=√96 Найти: КС, КР и площадь треугольника

Разбираемся:

1. Находим гипотенузу KP:

Синус угла P в прямоугольном треугольнике KCP определяется как отношение противолежащего катета KC к гипотенузе KP: \[ sin P = \frac{KC}{KP} \]. Из условия задачи известно, что sin P = 5/7. Выразим KC через KP: \[ KC = KP \cdot sin P = \frac{5}{7} KP \].

2. Применим теорему Пифагора:

В прямоугольном треугольнике KCP: \[ KC^2 + CP^2 = KP^2 \]. Подставим известные значения: \[ (\frac{5}{7} KP)^2 + (\sqrt{96})^2 = KP^2 \].

3. Решим уравнение относительно KP:

\[ \frac{25}{49} KP^2 + 96 = KP^2 \] \[ KP^2 - \frac{25}{49} KP^2 = 96 \] \[ \frac{24}{49} KP^2 = 96 \] \[ KP^2 = \frac{96 \cdot 49}{24} \] \[ KP^2 = 4 \cdot 49 \] \[ KP = \sqrt{4 \cdot 49} = 2 \cdot 7 = 14 \].

4. Вычислим KC:

Теперь, когда мы знаем KP, найдем KC: \[ KC = \frac{5}{7} KP = \frac{5}{7} \cdot 14 = 5 \cdot 2 = 10 \].

5. Найдем площадь треугольника KCP:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \[ S = \frac{1}{2} \cdot KC \cdot CP = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \sqrt{96} = 5 \sqrt{96} \]. Упростим корень: \[ \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6} \]. Таким образом, площадь равна: \[ S = 5 \cdot 4\sqrt{6} = 20\sqrt{6} \].

Ответ:

• KC = 10
• KP = 14
• Площадь треугольника = 20√6

Проверка за 10 секунд: Гипотенуза KP (14) больше катета CP (√96 ≈ 9.8), синус угла P (5/7 ≈ 0.71) меньше 1, катет KC (10) найден верно, площадь вычислена правильно.

Доп. профит: Запомни, что знание определения синуса и теоремы Пифагора позволяет решать множество задач геометрии.