Дано равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(AB = 4\), \(AM\) – его медиана. Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AM}\).

Пошаговое решение:

• Шаг 1: В равностороннем треугольнике все углы равны \(60^\circ\), а медиана, проведённая к стороне, является также биссектрисой и высотой. Значит, угол между \(\vec{AB}\) и \(\vec{AM}\) равен половине угла \(BAC\), то есть \(30^\circ\).
• Шаг 2: Найдем длину медианы \(AM\). Так как \(AM\) является высотой, то треугольник \(AMB\) прямоугольный. \(BM\) равна половине \(BC\), то есть \(2\).

\[ AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]

• Шаг 3: Вычислим скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AM}\):

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AM} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AM}| \cdot \cos(\angle BAM) = 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ) = 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12 \]

Ответ: 12