Дано: прямые а и b пересекаются в точке М. АА₁=3 MB₁=12. Найти: А₁В₁, МВ и BB₁

Рассмотрим рисунок.

Прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются в точке $$M$$. Плоскость $$\alpha$$ пересекает прямые $$a$$ и $$b$$ в точках $$A$$ и $$B$$ соответственно. Плоскость $$\beta$$ пересекает прямые $$a$$ и $$b$$ в точках $$A_1$$ и $$B_1$$ соответственно.

$$AA_1 = 3$$

$$MB_1 = 12$$

Нужно найти: $$A_1B_1, MB, BB_1$$

Рассмотрим $$\triangle AMB$$ и $$\triangle A_1MB_1$$.

Т.к. плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны, то $$\triangle AMB \sim \triangle A_1MB_1$$ по двум углам (\(\angle A = \angle A_1\), \(\angle B = \angle B_1\) как соответственные при параллельных плоскостях $$\alpha$$ и $$\beta$$ и секущих $$a$$ и $$b$$ соответственно).

Значит, $$\frac{MA_1}{MA} = \frac{MB_1}{MB} = \frac{A_1B_1}{AB}$$.

По условию $$AA_1 = 3$$, значит, $$MA_1 = MA + AA_1 = MA + 3$$

По условию $$MA = 6$$, значит, $$MA_1 = 6 + 3 = 9$$

Тогда $$\frac{MA_1}{MA} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$$.

По условию $$MB_1 = 12$$, значит, $$\frac{MB_1}{MB} = \frac{12}{MB} = \frac{3}{2}$$.

$$MB = \frac{12 \cdot 2}{3} = 8$$

$$BB_1 = MB_1 - MB = 12 - 8 = 4$$

$$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{3}{2}$$.

$$AB = 4$$, значит, $$\frac{A_1B_1}{4} = \frac{3}{2}$$.

$$A_1B_1 = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$$

Ответ: $$A_1B_1 = 6$$, $$MB = 8$$, $$BB_1 = 4$$