Дано: ∠OAC = 72°. Вычисли: ∠ABO, ∠COA.

Привет! Давай разберёмся с этой геометрической задачкой.

У нас есть круг с центром в точке O. Точка A лежит вне круга, а точки B и C — на круге. Из точки A проведены две касательные к кругу: AB и AC. Также показан радиус OC и линия OA, которая делит угол BAC.

Дано:

• \[ \angle OAC = 72^° \]

Найти:

• \[ \angle ABO \]
• \[ \angle COA \]

Решение:

1. Рассмотрим треугольник △ OAC.
   Так как OC — это радиус круга, а AC — касательная, то радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, △ OAC — прямоугольный треугольник с прямым углом ∠ OCA.
2. \[ \angle OCA = 90^° \]
3. В прямоугольном треугольнике сумма углов равна 180°. Мы знаем △ OAC и △ OCA, найдём △ AOC:
4. \[ \angle AOC = 180^° - 90^° - 72^° = 18^° \]
5. Теперь рассмотрим треугольник △ OAB.
   Аналогично, OB — радиус, а AB — касательная. Значит, △ OAB — прямоугольный треугольник с прямым углом ∠ OBA.
6. \[ \angle OBA = 90^° \]
7. Почему △ OAC и △ OAB равны?
   1. OA — общая сторона.
   2. OC = OB (оба — радиусы круга).
   3. △ OCA = △ OBA = 90° (как углы между радиусом и касательной).
   По двум катетам (если считать OC и OB катетами) или по гипотенузе и катету (OA и OC/OB) эти треугольники равны.
8. Из равенства треугольников следует, что △ OAC = △ OAB = 72°.
9. \[ \angle OAB = 72^° \]
10. \[ \angle ABO = 90^° \] (это мы уже выяснили)
11. Угол △ COA:
    Мы уже нашли △ AOC = 18°. Поскольку △ OAC = △ OAB, то △ AOC = △ AOB.
12. \[ \angle COA = △ AOC + △ AOB = 18^° + 18^° = 36^° \]

Ответ:

• △ ABO = 90°
• △ COA = 36°

Итоговый ответ:

△ ABO = 90°; △ COA = 36°