Дано: ╡MPK - прямоугольный. ∠K = 90° ∠PNK = 60° ∠PMN = 30° NK = 5 см. Найти: MK.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный ╡MPK:

В ╡PNK: ∠PNK = 60°, ∠NKP = 90° (так как ╡MPK - прямоугольный), ∠NPK = 180° - 90° - 60° = 30°.

По определению тангенса в ╡PNK:

\( \tan(∠PNK) = \frac{PK}{NK} \)

\( \tan(60°) = \frac{PK}{5} \)

\( PK = 5 \cdot \tan(60°) = 5 \cdot \sqrt{3} \) см.

Теперь рассмотрим ╡MPK:

В ╡MPK: ∠PKM = 90°, ∠PMK = 30°.

По определению тангенса в ╡MPK:

\( \tan(∠PMK) = \frac{PK}{MK} \)

\( \tan(30°) = \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{MK} \)

\( MK = \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{\tan(30°)} = \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 5 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot 3 = 15 \) см.

Ответ: MK = 15 см.