Дано: MN = KL = 1,9 см; ∠MNO = 60°. Найти: диаметр ∠MNR = ∠NKL =

Решение:

1. Найдем диаметр:

В условии сказано, что MN = KL = 1,9 см. Это хорды одной окружности. Если хорды равны, то они равноудалены от центра окружности. Однако, это нам не поможет напрямую найти диаметр.

Рассмотрим треугольник MNO. O - центр окружности, OM и ON - радиусы. Значит, треугольник MNO - равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Но нам дан угол ∠MNO = 60°. Если в равнобедренном треугольнике один из углов при основании равен 60°, то этот треугольник является равносторонним.

Следовательно, OM = ON = MN = 1,9 см.

Диаметр окружности равен удвоенному радиусу: D = 2 * R.

D = 2 * 1,9 см = 3,8 см.

2. Найдем ∠MNR:

NR - касательная к окружности в точке N. Радиус ON, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, ∠ONR = 90°.

Мы знаем, что треугольник MNO равносторонний, поэтому ∠MON = 60°.

Угол ∠MNR является частью угла ∠ONR. Мы можем найти ∠MNR, вычитая из ∠ONR угол ∠MNO.

∠MNR = ∠ONR - ∠MNO = 90° - 60° = 30°.

3. Найдем ∠NKL:

∠NKL - вписанный угол, опирающийся на дугу NL.

Центральный угол, опирающийся на ту же дугу NL, это угол ∠NOL.

Нам нужно найти ∠NOL. Мы знаем, что ∠MON = 60°.

В условии дано, что MN = KL. Равные хорды стягивают равные дуги. Значит, дуга NL равна дуге MK.

Это означает, что углы ∠NOL и ∠MOK равны.

Сумма углов вокруг центра окружности равна 360°.

∠MON + ∠NOL + ∠LOK + ∠KOM = 360°.

У нас есть еще информация: MN = KL. Это значит, что дуга MN = дуга KL. Центральный угол, опирающийся на дугу KL, равен ∠KOL.

∠MON = 60°.

∠MOK = 60°.

∠NOL = 60°.

∠KOL = 360° - 60° - 60° - 60° = 180°. Это значит, что KL - диаметр. Но KL = 1.9, а диаметр мы нашли 3.8.

Пересмотрим условие: MN = KL = 1.9 см. Это хорды.

∠MNO = 60°. Треугольник MNO - равнобедренный (OM=ON - радиусы), угол при основании ∠MNO = 60°. Значит, △MNO - равносторонний. MN = OM = ON = 1.9 см. Радиус R = 1.9 см.

Диаметр = 2 * R = 2 * 1.9 = 3.8 см.

NR - касательная. ON ⊥ NR, значит ∠ONR = 90°.

∠MNR = ∠ONR - ∠MNO = 90° - 60° = 30°.

∠NKL - вписанный угол, опирающийся на дугу NL.

Центральный угол, опирающийся на дугу NL - это ∠NOL.

MN = KL. Хорды равны, значит, дуги, которые они стягивают, тоже равны: дуга MN = дуга KL.

Центральный угол ∠MON = 60° (т.к. △MNO равносторонний).

Центральный угол ∠KOL = ∠MON = 60°.

Сумма углов вокруг центра 360°. Угол ∠MOK отсутствует на рисунке. Угол ∠NOL и ∠MOK мы не знаем.

Рассмотрим дуги. Дуга MN = дуга KL.

Центральный угол ∠MON = 60°.

Следовательно, дуга MN равна 60°.

Дуга KL тоже равна 60°.

Теперь найдем дугу NL.

Мы знаем, что NR - касательная, ON ⊥ NR.

Вписанный угол ∠NKL опирается на дугу NL. Его величина равна половине центрального угла ∠NOL.

В треугольнике ONL ON = OL (радиусы), значит он равнобедренный.

Нам нужно найти ∠NOL. Дуга NL = ?

Общая дуга окружности 360°.

Дуга MN = 60°.

Дуга KL = 60°.

Остается дуга NK = 360° - 60° - 60° - дуга NL.

Что-то не сходится. Давайте проверим условие.

MN = KL = 1.9 см.

∠MNO = 60°.

△MNO равносторонний, R = 1.9 см, D = 3.8 см.

∠MNR = 30°.

∠NKL - вписанный угол.

В равностороннем △MNO, ∠NOM = 60°. Это центральный угол, опирающийся на дугу MN. Значит, дуга MN = 60°.

Так как MN = KL, то хорды равны, значит дуги, которые они стягивают, равны: дуга KL = дуга MN = 60°.

Теперь нужно найти дугу NL.

NR - касательная. ON ⊥ NR, значит ∠ONR = 90°.

∠MNO = 60°.

∠ONL - угол между радиусом и хордой. Нам нужен ∠NOL.

В △ONL ON = OL (радиусы), поэтому он равнобедренный. ∠ONL = ∠OLN.

∠NOL + ∠ONL + ∠OLN = 180°.

∠NOL + 2 * ∠ONL = 180°.

Как найти ∠ONL?

∠ONR = 90°.

∠MNO = 60°.

∠MNR = 30°.

∠MNO + ∠MNR = ∠ONR = 90°. Это подтверждает, что ON ⊥ NR.

∠ONL - это часть угла ∠ONR.

∠ONR = ∠ONM + ∠MNR. Но это не так, N - вершина.

∠ONR = 90°.

∠MNO = 60°.

∠MNR = 30°.

∠ONL - это не ∠MNO, ∠ONL - это угол треугольника ONL.

∠ONL = ∠ONR - ∠MNR = 90° - 30° = 60°? Нет, это не так.

∠ONM = 60°.

∠MNR = 30°.

∠ONR = 90°.

∠ONL = ?

∠NOL - центральный угол для дуги NL.

∠NKL - вписанный угол для дуги NL.

∠NKL = 1/2 * ∠NOL.

Давайте посчитаем углы по-другому.

∠MON = 60° (дуга MN = 60°).

∠KOL = 60° (дуга KL = 60°).

360° - 60° - 60° = 240°. Эта сумма приходится на дуги NK и NL.

дуга NK + дуга NL = 240°.

∠MNK - вписанный угол, опирается на дугу NK.

∠MLK - вписанный угол, опирается на дугу MK.

∠NMK - вписанный угол, опирается на дугу NK.

∠MLN - вписанный угол, опирается на дугу MN. ∠MLN = 60° / 2 = 30°.

∠NKL - вписанный угол, опирается на дугу NL.

∠MNL - вписанный угол, опирается на дугу ML. Дуга ML = 360 - 60 - 60 - дуга NK - дуга NL.

∠MOL = 360 - 60 - 60 - ∠NOL - ∠MOK.

∠MOL = 360 - 120 - ∠NOL.

∠MOL - развернутый угол, если ML - диаметр. Тогда ML = 3.8. Но MN = 1.9, KL = 1.9.

Рассмотрим случай, когда ML - диаметр. Тогда ∠MNL = 90° и ∠MKL = 90°.

Если ML - диаметр, то ML = 3.8. Тогда KL = 1.9. В прямоугольном треугольнике MKL, sin(∠MKL) = MN/ML. sin(90) = 1.9/3.8 = 0.5. Значит ∠MKL = 30°. Но ∠MKL = 90°. Это противоречие.

В равностороннем △MNO, ∠MON = 60°.

MN = KL, значит дуга MN = дуга KL = 60°.

∠NOL - центральный угол, соответствующий дуге NL.

∠NKL - вписанный угол, опирающийся на дугу NL.

∠NOL + ∠MON + ∠KOL + ∠MOK = 360°

∠NOL + 60° + 60° + ∠MOK = 360°

∠NOL + ∠MOK = 240°

∠NKL - ?

∠MNR = 30°.

∠MNR - угол между касательной и хордой. Он равен половине дуги, которую он стягивает. Дуга NR = 2 * 30° = 60°.

Дуга NR - это дуга от точки касания N до точки R. Но R - точка на касательной, а не на окружности.

∠MNR - угол между касательной NR и хордой MN.

По теореме об угле между касательной и хордой, ∠MNR равен половине дуги MN.

∠MNR = 1/2 * дуга MN.

30° = 1/2 * дуга MN.

дуга MN = 60°.

Это совпадает с тем, что △MNO равносторонний, и ∠MON = 60°.

Теперь найдем ∠NKL.

∠NKL - вписанный угол. Он опирается на дугу NL.

∠NKL = 1/2 * дуга NL.

Нам нужно найти дугу NL.

MN = KL. Значит, дуга MN = дуга KL = 60°.

360° - дуга MN - дуга KL = дуга MK + дуга NL.

360° - 60° - 60° = 240°.

дуга MK + дуга NL = 240°.

∠MOK - центральный угол дуги MK.

∠NOL - центральный угол дуги NL.

∠MOK + ∠NOL = 240°.

∠NKL - вписанный угол. ∠NKL = 1/2 * дуга NL.

∠MNK - вписанный угол. ∠MNK = 1/2 * дуга NK.

∠NKL + ∠MNK = ∠MNL.

∠MNL - вписанный угол, опирается на дугу ML.

∠MOL - центральный угол дуги ML.

ML - хорда. MN = 1.9, KL = 1.9.

Если MN || KL, то дуга MK = дуга NL. Тогда ∠MOK = ∠NOL = 240° / 2 = 120°.

∠NKL = 1/2 * ∠NOL = 1/2 * 120° = 60°.

Но нет условия параллельности.

Рассмотрим еще раз △MNO. OM = ON = MN = 1.9. R = 1.9.

D = 3.8.

∠MNR = 30°.

∠MON = 60°.

MN = KL, значит дуга MN = дуга KL = 60°.

∠NKL - вписанный угол. Он опирается на дугу NL.

∠NOL - центральный угол дуги NL.

∠NKL = 1/2 * ∠NOL.

∠MOK + ∠NOL = 240°.

∠NKL - ?

Есть ли еще одно свойство касательной?

∠MNR = 30°.

∠NKL - ?

Из рисунка видно, что NL кажется меньше, чем MN или KL.

Если предположить, что ML - диаметр, то ∠MNL = 90°.

∠MLN = 30° (опирается на дугу MN).

∠NML = 90 - 30 = 60°.

∠MNL = ∠MNO + ∠ONL = 60° + ∠ONL = 90°. Значит ∠ONL = 30°.

В равнобедренном △ONL (ON=OL), ∠ONL = ∠OLN = 30°.

∠NOL = 180° - 30° - 30° = 120°.

Если ∠NOL = 120°, то ∠NKL = 1/2 * ∠NOL = 1/2 * 120° = 60°.

Проверим, верно ли, что ML - диаметр.

Если ∠NOL = 120°, то дуга NL = 120°.

Дуга MN = 60°.

Дуга KL = 60°.

120° + 60° + 60° = 240°. Остается дуга MK = 360° - 240° = 120°.

Центральный угол ∠MOK = 120°.

∠NOL = 120°.

∠MOK = 120°.

ML - хорда. Дуга ML = дуга MN + дуга NL = 60° + 120° = 180°.

Значит, ML - диаметр!

Все сошлось!

Ответ:

• Диаметр: 3,8 см;
• ∠MNR = 30°;
• ∠NKL = 60°.