Дано линейное дифференциальное уравнение второго порядка: y"+y'-2y=0. Приведите решение данного уравнения.

Решение:

Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения найдем характеристическое уравнение:

\[ r^2 + r - 2 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \]

Получаем два корня:

\[ r_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]\[ r_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

\[ y = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x} \]

Подставляя найденные корни, получаем:

\[ y = c_1 e^{1x} + c_2 e^{-2x} \]\[ y = c_1 e^x + c_2 e^{-2x} \]

Ответ: y=c₁⋅e^x+c₂⋅e^-2x