Дано: \(\frac{(1+i)^5}{(1-i)^3}\). Вычислить.

Представим числа в тригонометрической форме:

\(1+i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\), \(1-i=\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)\).

Тогда

\[\frac{(1+i)^5}{(1-i)^3}=\frac{(\sqrt{2})^5\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right)}{(\sqrt{2})^3\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)}=2\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=2i.\]

Ответ: \(2i\).